Continuità funzione e polinomio di Taylor
Buongiorno, ho un dubbio. Se ho una funzione definita in un intervallo, escluso al più $x_0$, e mi chiede di prolungarla, basta che io studi il suo comportamento in quel punto e dia alla nuova funzione il valore di quel limite nel punto stesso.
Dopo mi chiede di calcolare il polinomio di Taylor per questo prolungamento di f, calcolato proprio nel punto di discontinuità.
Nel mio caso il valore del limite è $0$ quindi io ridefinisco la funzione :
$f(x)={(sqrt(x)-(xlogx)/(x-1),if x!=1),(0,if x=1):}$
So che $f(1)=0$ e che tutte le derivate successive sono $=0$. Devo dimostrare che non esiste il limite del rapporto incrementale di tale funzione in $x_0=1$ ? O come giustifico questa richiesta formalmente?
Dopo mi chiede di calcolare il polinomio di Taylor per questo prolungamento di f, calcolato proprio nel punto di discontinuità.
Nel mio caso il valore del limite è $0$ quindi io ridefinisco la funzione :
$f(x)={(sqrt(x)-(xlogx)/(x-1),if x!=1),(0,if x=1):}$
So che $f(1)=0$ e che tutte le derivate successive sono $=0$. Devo dimostrare che non esiste il limite del rapporto incrementale di tale funzione in $x_0=1$ ? O come giustifico questa richiesta formalmente?
Risposte
Non si capisce niente. A monte, perché la nozione di "serie di Taylor" (risp. "polinomio di Taylor di ordine \(n\)", che non hai specificato) abbia senso, è necessario che la funzione con cui stai giocando sia \( C^\infty\) (risp. \(C^n\)) in un intorno del punto in cui intendi sviluppare. L'hai verificato?
$f(x)={(sqrt(x)-(xlogx)/(x-1),if x!=1),(0,if x=1):}$
se è definita così devo comunque verificare che esista il limite del rapporto incrementale della derivata? Comunque so che $f'(1)=0$, però non è detto che pure $f''(1)$ sia uguale a zero. Quindi il polinomio di Taylor potrebbe avere i termini relativi a $f(x),f'(x)$ uguali a zero ma $f''(x)!=0$
se è definita così devo comunque verificare che esista il limite del rapporto incrementale della derivata? Comunque so che $f'(1)=0$, però non è detto che pure $f''(1)$ sia uguale a zero. Quindi il polinomio di Taylor potrebbe avere i termini relativi a $f(x),f'(x)$ uguali a zero ma $f''(x)!=0$
Se vuoi calcolare il polinomio di Taylor di \(f\) arrestato all'ordine \(n\) nel punto \(x_0=1\) devi calcolare \(f(1), f'(1), \dots , f^{(n)} (1) \). Continuo a non capire la connessione tra la funzione definita a tratti ed il "limite del rapporto incrementale della derivata" (cos'e'?).
sarebbe così:
$f(1)=0$
$f'(x)=1/(2sqrt(x))-((1+logx)(x-1)-xlogx)/(x-1)^2$ calcolata in $f'(1)=$ però mi da una forma indeterminata, quindi non capisco se sia sufficiente studiare il limite del rapporto incrementale in 1 per sapere il valore di $f'(X)$ o se sono io che non so fare i conti
$f(1)=0$
$f'(x)=1/(2sqrt(x))-((1+logx)(x-1)-xlogx)/(x-1)^2$ calcolata in $f'(1)=$ però mi da una forma indeterminata, quindi non capisco se sia sufficiente studiare il limite del rapporto incrementale in 1 per sapere il valore di $f'(X)$ o se sono io che non so fare i conti
Fai bene i conti, a me sembra che quel limite esista *coff coff*. La forma indeterminata la puoi sbrogliare sviluppando in serie di Taylor il logaritmo.
Ma posso applicare Taylor anche se non è un limite?
"vivi96":
Ma posso applicare Taylor anche se non è un limite?
Non puoi brutalmente inserire \(x=1\) in \( f' \) perche' \(f'\) ha un denominatore e, guarda un po', il denominatore si annulla proprio per \( x=1 \). Ma esistono \( \lim_{x \to 1^{-}} f'(x) \) e \( \lim_{x \to 1^{+}} f'(x) \), sono finiti e coincidono, quindi \(f'\) esiste ed è continua in \( x=1\) (questo in virtù di un criterio di esistenza della derivata a volte dovuto a Darboux per il quale però adesso non trovo un riferimento; cerca in rete, se si trovano ancora, le dispense di Paolo Guiotto oppure i post di dissonance di qualche anno fa. L'alternativa, per verificare l'esistenza della derivata in \( 1\), è quella di operare direttamente con il limite del rapporto incrementale).
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