Continuità funzione a due variabili
Ho la funzione definita da:
[tex]$\frac{1-\cos(xy)}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$[/tex] Se [tex]$(x,y)$[/tex] diverso da [tex]$(0,0)$[/tex]
E [tex]$0$[/tex] altrimenti.
Devo verificare la continuità in [tex]$0$[/tex].
Ora io calcolando il limite ho [tex]$1-\cos (xy)$[/tex], dove [tex]$\cos (xy)$[/tex] non sarà mai uguale a [tex]$1$[/tex]
In teoria potrei pensare quindi che [tex]$1-\cos x>0$[/tex] oppure [tex]$1-\cos x<0$[/tex] e pensare che il limite non possa essere [tex]$0$[/tex], quindi la funzione non è continua in [tex]$(0,0)$[/tex]?
[mod="gugo82"]Ti avevo già avvertito: in TeX le funzioni vanno inserite con un backslash (non si scrive "cos" ma "\cos", etc...). Qui correggo io.
Siccome non mi piace intervenire così direttamente nei post degli utenti, soprattutto di quelli con quasi 1000 post all'attivo, cerca di non farmelo più ripetere.[/mod]
[tex]$\frac{1-\cos(xy)}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$[/tex] Se [tex]$(x,y)$[/tex] diverso da [tex]$(0,0)$[/tex]
E [tex]$0$[/tex] altrimenti.
Devo verificare la continuità in [tex]$0$[/tex].
Ora io calcolando il limite ho [tex]$1-\cos (xy)$[/tex], dove [tex]$\cos (xy)$[/tex] non sarà mai uguale a [tex]$1$[/tex]
In teoria potrei pensare quindi che [tex]$1-\cos x>0$[/tex] oppure [tex]$1-\cos x<0$[/tex] e pensare che il limite non possa essere [tex]$0$[/tex], quindi la funzione non è continua in [tex]$(0,0)$[/tex]?
[mod="gugo82"]Ti avevo già avvertito: in TeX le funzioni vanno inserite con un backslash (non si scrive "cos" ma "\cos", etc...). Qui correggo io.
Siccome non mi piace intervenire così direttamente nei post degli utenti, soprattutto di quelli con quasi 1000 post all'attivo, cerca di non farmelo più ripetere.[/mod]
Risposte
Ah, davvero [tex]$\cos xy \neq 1$[/tex]?
Ma guardare preliminarmente cosa succede in [tex]$(x,0)$[/tex] o [tex]$(0,y)$[/tex] non si usa più?
Ma guardare preliminarmente cosa succede in [tex]$(x,0)$[/tex] o [tex]$(0,y)$[/tex] non si usa più?
Io farei così :
$cos(xy)$ è asintotico a $1-(x^2y^2)/2 $ per $xy rarr 0 $ -sviluppo di Taylor del primo ordine.
Sostituendo nel limite da calcolare ottengo $ 1/2*(x^2y^2)/(x^2+y^2 )^(3/2) $ ; passo a coordinate polari ottenendo $ (1/2) (rho^4cos^2theta sin^2theta)/rho^3= (1/2)rho cos^2theta sin^2 theta $ che per $rho rarr 0 $ tende a $0 $ per qualunque valore di $ theta $.
Dunque la funzione è continua nell'origine.
Per Luca Lussardi : troppo disinvolto il mio procedimento ?
$cos(xy)$ è asintotico a $1-(x^2y^2)/2 $ per $xy rarr 0 $ -sviluppo di Taylor del primo ordine.
Sostituendo nel limite da calcolare ottengo $ 1/2*(x^2y^2)/(x^2+y^2 )^(3/2) $ ; passo a coordinate polari ottenendo $ (1/2) (rho^4cos^2theta sin^2theta)/rho^3= (1/2)rho cos^2theta sin^2 theta $ che per $rho rarr 0 $ tende a $0 $ per qualunque valore di $ theta $.
Dunque la funzione è continua nell'origine.
Per Luca Lussardi : troppo disinvolto il mio procedimento ?
Nono, poi a me le disinvolture sensate piacciono.
Noto però il passaggio in polari si può evitare.
Basta ricordare che [tex]$x^2y^2\leq \frac{1}{2}\ (x^2+y^2)^2$[/tex] e maggiorare.
P.S.: Non sono Luca, quindi non so se ti va bene lo stesso...
Noto però il passaggio in polari si può evitare.
Basta ricordare che [tex]$x^2y^2\leq \frac{1}{2}\ (x^2+y^2)^2$[/tex] e maggiorare.
P.S.: Non sono Luca, quindi non so se ti va bene lo stesso...
Mi scuso con gugo....
Emh...niente sono io che faccio al solito confusione, il limite è a (0,0) quindi al numeratore ho 0.
P.S non abbiamo fatto nè Taylor nè le coordinate polari...
Ma potrei fare così?
[tex]\frac{1-\cos(xy)}{xy(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}*xy[/tex]
Se non ho sbagliato dovrei avere 0 che moltiplica
[tex]\frac{xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}[/tex]
Fin qui potrebbe andare?
Spero di aver scritto bene in latex...
Emh...niente sono io che faccio al solito confusione, il limite è a (0,0) quindi al numeratore ho 0.
P.S non abbiamo fatto nè Taylor nè le coordinate polari...
Ma potrei fare così?
[tex]\frac{1-\cos(xy)}{xy(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}*xy[/tex]
Se non ho sbagliato dovrei avere 0 che moltiplica
[tex]\frac{xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}[/tex]
Fin qui potrebbe andare?
Spero di aver scritto bene in latex...
"gugo82":
Nono, poi a me le disinvolture sensate piacciono.
Noto però il passaggio in polari si può evitare.
Basta ricordare che [tex]$x^2y^2\leq \frac{1}{2}\ (x^2+y^2)^2$[/tex] e maggiorare.
P.S.: Non sono Luca, quindi non so se ti va bene lo stesso...
Mi va bene , mi va bene anche se non sei Luca
A volte ho il dubbio che certi procedimenti , chiamiamoli disinvolti, passando da un metodo a un altro abbiano il veleno nascosto nella coda
e portino a risultati errati.Non è la stessa cosa ma so che risolvere un limite complicato " a pezzi " può portare a risultati errati.
Al momento non ho un esempio sottomano , magari a qualcuno viene in mente e ha voglia di riportarlo qui...
Potrebbe andre il mio ragionamento?
Non l'ho capito, prova a spiegarlo meglio .
Per Camillo: va tutto bene il tuo procedimento, ma è incompleto: alla fine non basta che il limite esista (sia $0$ in questo caso) per ogni $\theta$, ma deve essere uniforme rispetto a $\theta$, ma lo è dal momento che $0 \leq |\rho \cos^2\theta \sin^2\theta|\leq \rho$.
Cioè io ho trattato il limite riconducendo una parte al limite notevole [tex]\frac{1-\cos(x)}{x}[/tex] che per x che tende a 0 fa 0.
Quindi ho pensato che considerando che quel limite fa 0:
[tex]\frac{1-\cos(xy)}{xy(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}*xy[/tex]
Avrei
[tex]0*\frac{xy}{x^2+y^2^{\frac{3}{2}}}[/tex]
E potei continuare così....risolvendo la seconda parte...mi sembra si possa fare..
Quindi ho pensato che considerando che quel limite fa 0:
[tex]\frac{1-\cos(xy)}{xy(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}*xy[/tex]
Avrei
[tex]0*\frac{xy}{x^2+y^2^{\frac{3}{2}}}[/tex]
E potei continuare così....risolvendo la seconda parte...mi sembra si possa fare..
"Luca.Lussardi":
Per Camillo: va tutto bene il tuo procedimento, ma è incompleto: alla fine non basta che il limite esista (sia $0$ in questo caso) per ogni $\theta$, ma deve essere uniforme rispetto a $\theta$, ma lo è dal momento che $0 \leq |\rho \cos^2\theta \sin^2\theta|\leq \rho$.
Giusto, giusto va completato così
Emh.....sono contento che vi siate intesi..
ma io non posso usare quel procedimento...vorrei sapere se la mia idea va bene..
ma io non posso usare quel procedimento...vorrei sapere se la mia idea va bene..
La tua idea mi lascia molto perplesso perchè se è vero che, per $(x,y) rarr (0,0 ) $ anche $(1-cos(xy))/(xy) rarr 0 $ invece
$(xy)/(x^2+y^2)^(3/2)$ non sembra essere limitato in un intorno dell'origine il che complica la faccenda.
Per quanto riguarda il passaggio a coordinate polari, gugo ha mostrato che non è necessario ; non vedo però come si possa risolvere l'esercizio senza far uso dello sviluppo di Taylor.
Se qualcuno sa come fare, è invitato a proporre la sua soluzione.
$(xy)/(x^2+y^2)^(3/2)$ non sembra essere limitato in un intorno dell'origine il che complica la faccenda.
Per quanto riguarda il passaggio a coordinate polari, gugo ha mostrato che non è necessario ; non vedo però come si possa risolvere l'esercizio senza far uso dello sviluppo di Taylor.
Se qualcuno sa come fare, è invitato a proporre la sua soluzione.
Non lo so....ma non abbiamo fatto nè l'uno nè l'altro....davvero..
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