Continuità funzione a 2 variabili

[leodistefano]

ragazzi la funzione:


ln(1+|x|)*y^(1/3) per (x;y) diverso da (0;1)
-----------------
[x^2+(y-1)^2]^(1/4)


0 per (x;y) uguale a (0;1)




è continua? io ho fatto il limite della suddetta funzione nel punto (0;1) ma mi risulta che la funzione non è continua...
risulta anche a voi?
grazie 1000
leo

[Sk_Anonymous]

In casi come questi il metodo sicuro da usare consiste prima in un cambio di variabili [se necessario…], poi nel passaggio in coordinate polari. Data la funzione di due variabili…

$f(x,y) = (ln (1+|x|)*y^(1/3))/((x^2+(y-1)^2)^(1/4))$ per $(x,y)<>(0,1)$
$ = 0$ per $(x,y)=(0,1)$ (1)

… con la sostituzione $y-1=t$ essa diviene…

$f(x,t)= (ln (1+|x|)*(1+t)^(1/3))/((x^2+t^2)^(1/4))$ per $(x,t)<>(0,0)$
$ = 0$ per $(x,t)=(0,0)$ (2)

Ora si deve calcolare il limite della (2) per $(x,t)->(0,0)$. Operiamo ora la conversione in coordinate polari…

$x=r*cos theta$
$y=r*sin theta$ (3)

… col che la funzione diviene…

$f(r,theta) = (ln (1+r*|cos theta|)*(1+r*sin theta)^(1/3))/(r^(1/2))$ per $r>0$
$ = 0$ per $r=0$ (4)

Di essa occorre or calcolare il limite per $r->0$. Ricordando il limite notevole…

$lim_(p->0) ln (1+p)/p =1$ (5)

… si trova che…

$lim_(r->0) f(r,theta) = lim _(r->0) r^(1/2)*|cos theta|=0$ (6)

La funzione assegnata risulta pertanto continua nel punto $(x,y)=(0,1)$…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[leodistefano]

grazie 1000 x la risposta molto eauriente lupo grigio.
poi ho provato a rifare il limite da solo e mi è venuto. grazie 1000 cmq x la tua disponibilità
leo