Continuità funzione

[enpires1]

Ciao a tutti! devo dimostrare se questa funzione è continua in $(0,0)$, io ho agito così
$f(x,y) = (5x +2y)/(x^2 +y)$
Ho provato a restringermi all'asse x e a dimostrare che i limiti sinistro e destro sono diversi
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,0) = lim_((x,y)->(0,0)) (5x)/x^2 = + \infty$da dx $-\infty$ da_sx
E' corretto il ragionamento? perchè il mio prof agisce diversamente, vorrei sapere se come ho fatto io va bene o c'è qualche problema formale...

[ViciousGoblin]

"enpires":Ciao a tutti! devo dimostrare se questa funzione è continua in $(0,0)$, io ho agito così
$f(x,y) = (5x +2y)/(x^2 +y)$
Ho provato a restringermi all'asse x e a dimostrare che i limiti sinistro e destro sono diversi
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,0) = lim_((x,y)->(0,0)) (5x)/x^2 = + \infty$da dx $-\infty$ da_sx
E' corretto il ragionamento? perchè il mio prof agisce diversamente, vorrei sapere se come ho fatto io va bene o c'è qualche problema formale...

Beh, mi pare che una volta trovato un infinito la funzione non puo' essere continua. A parte che, per come l'hai scritta, non e' chiaro quale sia il valore in zero
e se quest'ultimo non e' definito non ha neanche senso porsi il problema. Se invece il problema e' se $f$ sia prolungabile a una funzione continua in zero
allora una volta trovata UNA successione tendente a $(0,0)$ su cui la successione diverge, e' chiaro che questo non e' possibile. Di successioni "siffatte"
ce ne sono parecchie per cui non e' strano che il prof. ne abbia usata un'altra (ma piu' o meno cosi' avra' fatto, credo)

[ciampax]

Se passi a coordinate polari e poi calcoli il limite per $\rho$ che tende a zero, ti accorgi che viene $5\cotan\theta+2$, il che ti porta a concludere che il limite non esiste. Inoltre per $\theta=0$ o $\theta=\pi$ (per ottenere la direzione lungo l'asse $x$, vengono esattamente i due limiti che hai calcolato tu.

[regim]

Posso farti notare che non puoi stabilire la continuitá se non sai, a prescindere dall'esistenza o meno del limite, il valore della funzione nel punto, cioé non si parte nemmeno. La continuitá ha senso solo nei punti di definizione della funzione, ma non specifichi il valore.
Fermo restando che é ovvio che se il limite é infinito o non esiste non potrá in ogni caso essere continua, quindi il tuo ragionamento é corretto. Ma devi ricordare al tuo prof(o te lo sei dimenticato?) di indicare il valore della funzione nel punto.