Continuità funzione
Ciao a tutti!
Sono di nuovo qui a chiedervi un aiuto
Non riesco a capire come mai questa funzione non è continua:
$ { ( (7x^2+sen(7x))/(x^2+y^2)^(1/2)),( 0 ):} $
Il primo vale se $(x,y)!=(0,0)$ il secondo invece se $(x,y)=(0,0)$
Per studiare la continuità posso applicare diversi metodi.. coordinate polari, limitazioni, maggiorazioni..
Se lo studio con le coordinate polari il limite mi risulta $0$ perchè
$ lim_(rho -> 0) (7rho^2cos^2vartheta +sen(7(rhocosvartheta )))/|rho| $
risulta $0$
Invece la funzione non è differenziabile..
Grazie mille
Buona serata
Ciaoo!
Sono di nuovo qui a chiedervi un aiuto
Non riesco a capire come mai questa funzione non è continua:
$ { ( (7x^2+sen(7x))/(x^2+y^2)^(1/2)),( 0 ):} $
Il primo vale se $(x,y)!=(0,0)$ il secondo invece se $(x,y)=(0,0)$
Per studiare la continuità posso applicare diversi metodi.. coordinate polari, limitazioni, maggiorazioni..
Se lo studio con le coordinate polari il limite mi risulta $0$ perchè
$ lim_(rho -> 0) (7rho^2cos^2vartheta +sen(7(rhocosvartheta )))/|rho| $
risulta $0$
Invece la funzione non è differenziabile..
Grazie mille
Buona serata
Ciaoo!
Risposte
"floppyes":
Non riesco a capire come mai questa funzione non è continua:
$ { ( (7x^2+\sin(7x))/(x^2+y^2)^(1/2)),( 0 ):} $
Il primo vale se $(x,y)!=(0,0)$ il secondo invece se $(x,y)=(0,0)$
Prova a considerare la restrizione di $f$ lungo le rette $y=0$ e $y=x$.
Ciao!
Se prendo la restrizione $f(x,0)$ ottengo:
$(7x^2+sen(7x))/|x|$
con $x->0$ mi risulta $0$
Se prendo $f(x,x)$ ottengo:
$(7x^2+sen(7x))/(2^(1/2)|x|)$
con $x->0$ mi risulta sempre $0$
Quindi la funzione dovrebbe essere continua dato che ho trovato due risultati uguali
Grazie
Ciaoo!
Se prendo la restrizione $f(x,0)$ ottengo:
$(7x^2+sen(7x))/|x|$
con $x->0$ mi risulta $0$
Se prendo $f(x,x)$ ottengo:
$(7x^2+sen(7x))/(2^(1/2)|x|)$
con $x->0$ mi risulta sempre $0$
Quindi la funzione dovrebbe essere continua dato che ho trovato due risultati uguali
Grazie
Ciaoo!
"floppyes":
Se prendo la restrizione $f(x,0)$ ottengo:
$(7x^2+sen(7x))/|x|$
con $x->0$ mi risulta $0$
Non direi proprio. Se $x>0$:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{7x^2+\sin(7x)}{x} = \lim_{x \to 0} 7x+ \frac{\sin(7x)}{x} = 7
\]
mentre se $x<0$
\[
\lim_{x \to 0} \frac{7x^2+\sin(7x)}{-x} = \lim_{x \to 0} -7x+ \frac{\sin(7x)}{-x} = -7.
\]
Quindi non serve nemmeno usare l'altra restrizione, che ti darebbe comunque $\pm \frac{7}{\sqrt{2}}$.
P.S. Una nota importante: non basta verificare che i limiti su due restrizioni siano uguali per concludere che il limite esista, attenzione! E' solo una condizione necessaria, non sufficiente.
Avevo sbagliato proprio in pieno!
Una domanda.. se io non riesco a risolvere il limite con le coordinate polari (come è successo prima) posso utilizzare le restrizioni sugli assi (x,y e bisettrice).
Se i limiti sulle varie restrizioni venivano tutti quanti zero allora potevo concludere che la mia funzione era continua, perchè nelle condizioni avevo: $(x,y)!=(0,0)$ per la prima funzione e $(x,y)=(0,0)$ per la seconda.
Quindi avevo limite sinistro uguale a quello destro. Giusto?
Grazie mille
Ciaoo!
Una domanda.. se io non riesco a risolvere il limite con le coordinate polari (come è successo prima) posso utilizzare le restrizioni sugli assi (x,y e bisettrice).
Se i limiti sulle varie restrizioni venivano tutti quanti zero allora potevo concludere che la mia funzione era continua, perchè nelle condizioni avevo: $(x,y)!=(0,0)$ per la prima funzione e $(x,y)=(0,0)$ per la seconda.
Quindi avevo limite sinistro uguale a quello destro. Giusto?
Grazie mille
Ciaoo!
"floppyes":
Una domanda.. se io non riesco a risolvere il limite con le coordinate polari (come è successo prima) posso utilizzare le restrizioni sugli assi (x,y e bisettrice).
Se i limiti sulle varie restrizioni venivano tutti quanti zero allora potevo concludere che la mia funzione era continua, perchè nelle condizioni avevo: $(x,y)!=(0,0)$ per la prima funzione e $(x,y)=(0,0)$ per la seconda.
Torno a ripetere: non basta che i limiti su un po' di restrizioni esistano uguali per affermare che il limite esiste. Questa è solo una condizione necessaria e non sufficiente per l'esistenza del limite. Tieni conto, infine, che non esistono solo assi e rette: puoi restringere lungo qualunque curva, ad es. parabole come $y=x^2$ etc. Più chiaro ora?
Ciao!
Ook perfetto adesso mi è più chiaro lo studio della continuità.
Ultima domanda. Sempre riguardo questa funzione devo studiare anche le derivate direzionali in $(0,0)$
Guardando la teoria non ho capito se devo applicare il rapporto incrementale alla funzione, utilizzando una direzione $v$ generica, oppure se devo prima fare le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ e poi applicare il rapporto incrementale.
Perchè applicando subito il rapporto incrementale con $v$ generico ottengo:
$lim_(t->0) (7t^2+sen(7t))/(2^(1/2)|t|t)$
Il limite non ha un risultato finito quindi non esistono le derivate direzionali... invece la soluzione riporta:
non esistono le derivate direzionali eccetto $(d/dy)(0,0)=0$
Grazie mille.. questa parte purtroppo non l'ho ben capita e non riesco a trovare una spiegazione fatta bene.
Buona serata
Ciaoo
Ook perfetto adesso mi è più chiaro lo studio della continuità.
Ultima domanda. Sempre riguardo questa funzione devo studiare anche le derivate direzionali in $(0,0)$
Guardando la teoria non ho capito se devo applicare il rapporto incrementale alla funzione, utilizzando una direzione $v$ generica, oppure se devo prima fare le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ e poi applicare il rapporto incrementale.
Perchè applicando subito il rapporto incrementale con $v$ generico ottengo:
$lim_(t->0) (7t^2+sen(7t))/(2^(1/2)|t|t)$
Il limite non ha un risultato finito quindi non esistono le derivate direzionali... invece la soluzione riporta:
non esistono le derivate direzionali eccetto $(d/dy)(0,0)=0$
Grazie mille.. questa parte purtroppo non l'ho ben capita e non riesco a trovare una spiegazione fatta bene.
Buona serata
Ciaoo
Ciao!
Adesso ho capito come si deve fare.
La derivata rispetto ad x non esiste perchè
$lim_(t->0)((7t^2+sen(7t))/(t|t|))$ risulta $7$ e $-7$ quindi $(df)/(dx)$ non esiste.
Invece la derivata rispetto ad y esiste perchè
$lim_(t->0)(0/(t|t|))$ risulta $0$ quindi $(df)/(dy)=0$
Grazie
Ciaoo!
Adesso ho capito come si deve fare.
La derivata rispetto ad x non esiste perchè
$lim_(t->0)((7t^2+sen(7t))/(t|t|))$ risulta $7$ e $-7$ quindi $(df)/(dx)$ non esiste.
Invece la derivata rispetto ad y esiste perchè
$lim_(t->0)(0/(t|t|))$ risulta $0$ quindi $(df)/(dy)=0$
Grazie
Ciaoo!
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