Continuità euclidea
Vi giuro non parlo di topologia, ma studiando la continuità e gli intervalli aperti mi è sorta la domanda. Poi mi prendo un po' di pausa.
Perché nella definizione di continuità euclidea (o metrica on saprei) si usano le disuguaglianze e non si prendono gli estremi? Fatemi scrivere questa sciocchezza:
$ AA epsilon>0 EE delta>0 $
tali che
$ |x-xo|<=delta rArr |f(x)-f(xo)| <=epsilon $
Spero non sia una domanda banale. Intuitivamente io direi che aggiungendo un uguale non cambi niente eppure non è così.
Ci ho pensato e:
Perché altrimenti le disuguaglianze dovrebbero valere anche senza uguale e diretta conseguenza sarebbe che se a è un estremo dell'intorno allora f(a) esiste, ma esistono funzioni per cui ciò possa anche non valere. (O una cosa del genere
Scusate se mi scrivo e poi arrivo ad una risposta ma la matematica l'ho sempre fatta in modo un po' represso (la matematica degli ingegneri) ed ho come idea di non poter riuscire a rispondermi. Non volevo impegnare qualcun altro ancora una volta
Perché nella definizione di continuità euclidea (o metrica on saprei) si usano le disuguaglianze e non si prendono gli estremi? Fatemi scrivere questa sciocchezza:
$ AA epsilon>0 EE delta>0 $
tali che
$ |x-xo|<=delta rArr |f(x)-f(xo)| <=epsilon $
Spero non sia una domanda banale. Intuitivamente io direi che aggiungendo un uguale non cambi niente eppure non è così.
Ci ho pensato e:
Perché altrimenti le disuguaglianze dovrebbero valere anche senza uguale e diretta conseguenza sarebbe che se a è un estremo dell'intorno allora f(a) esiste, ma esistono funzioni per cui ciò possa anche non valere. (O una cosa del genere
Scusate se mi scrivo e poi arrivo ad una risposta ma la matematica l'ho sempre fatta in modo un po' represso (la matematica degli ingegneri) ed ho come idea di non poter riuscire a rispondermi. Non volevo impegnare qualcun altro ancora una volta
Risposte
It doesn't matter. They are equivalent. Anything changes if you put an $=$. If you want I can give you a (very easy) proof.
Mi sa che al momento non ho la testa per pensare a queste cose, domani ti rispondo
Ok, I will be waiting for you.
Ok fammi vedere questa dimostrazione
Suppose that $f$ satisfy the definition of continuity at the point $x_0$ with "$\leq$". This means that, for all $\varepsilon>0$ there exists a $\delta_\varepsilon>0$ such that, if $|x-x_0|\leq \delta_\varepsilon$, then $|f(x)-f(x_0)|\leq \varepsilon$.
Now, take $\varepsilon>0$. By the property above, associated to $\varepsilon/2$, there exists $\delta_{\varepsilon/2}$ such that, if $|x-x_0|\leq \delta_{\varepsilon/2}$, then $|f(x)-f(x_0)|\leq \varepsilon/2<\varepsilon$. Now we have a strict inequality in the "inequality relative to $f$". And it's trivial that we can put a strict inequality in the "inequality relative to $x$" because, if $|x-x_0|\leq \delta_{\varepsilon/2}$, then you also have that $|x-x_0|< \delta_{\varepsilon/2}$.
This proves that the definition with "$\leq$" implies the definition with "$<$". I think you should try to prove the reverse implication in order to have a better understanding of the situation. I hope you'll be satisfied.
Now, take $\varepsilon>0$. By the property above, associated to $\varepsilon/2$, there exists $\delta_{\varepsilon/2}$ such that, if $|x-x_0|\leq \delta_{\varepsilon/2}$, then $|f(x)-f(x_0)|\leq \varepsilon/2<\varepsilon$. Now we have a strict inequality in the "inequality relative to $f$". And it's trivial that we can put a strict inequality in the "inequality relative to $x$" because, if $|x-x_0|\leq \delta_{\varepsilon/2}$, then you also have that $|x-x_0|< \delta_{\varepsilon/2}$.
This proves that the definition with "$\leq$" implies the definition with "$<$". I think you should try to prove the reverse implication in order to have a better understanding of the situation. I hope you'll be satisfied.
Per la dimostrazione dell'inverso prendo un intorno di xo chiuso e di ampiezza minore di espsilon, mentre per f(xo) se vale la disuguaglianza stretta vale anche quella con l'uguale
Quindi la definizione di continuità può essere fatta anche con i chiusi
Quindi la definizione di continuità può essere fatta anche con i chiusi
That is not a proof. But, well, the definition can be done with or without $=$.
Scusa una implica l'altra e viceversa, non è una dimostrazione?
"antonio9992":
Scusa una implica l'altra e viceversa, non è una dimostrazione?
Your last message doesn't prove anything, but the result is true.
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