Continuità, estremi relativi e assoluti di una funzione

[Dave971]

Salve, vorrei un vostro parere su questo esercizio:
devo studiare la continuità, monotonia ed eventuali punti di estremo relativi e assoluti della funzione
\(\displaystyle f(x)=arctan\left ( \frac{x^{2}}{\left | x-1 \right |} \right ) \)

La funzione è definita in \(\displaystyle \left ( -\infty,1 \right )\cup \left ( 1,+\infty \right ) \) e per quanto riguada la continuità, avendo i limiti sia a destra che a sinistra di $1$ uguali a $\frac{\pi}{2}$, avevo pensato di prolungarla per continuità in tale punto.
La funzione presenta due punti di minimo relativo, uno in $x=0$ e un altro in $x=2$. Sostituendo i due punti nella funzione, si nota che $x=0$ è il minimo assoluto, anche perchè i limiti agli estremi \(\displaystyle +\infty \) e \(\displaystyle -\infty \) del dominio della funzione risultano entrambi \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \). Quindi la funzione non ammette massimi assoluti. Tuttavia, se considero la funzione prolungata
\(\displaystyle g(x)=\left\{\begin{matrix}
f(x) & \mathbb {R} \_\left \{ 1 \right \}\\
\frac{\pi}{2} & x \in \left \{ 1 \right \}
\end{matrix}\right. \)
il massimo assoluto si trova proprio in $x=1$.
Vi ringrazio per l' attenzione e per le eventuali risposte

[billyballo2123]

Perfetto!