Continuità: essenziale per calcolo di limiti?
Salve, volevo sapere una cosa sul polinomio di McLaurin e sui ragionamenti che si fanno per calcolare il limite di una funzione. In particolare, volevo sapere se le cose sono andate come le descriverò io ora.
Dopo aver dato la definizione di limite per una funzione del tipo $RR->RR$, il problema successivo è calcolarlo. Per esempio, data la funzione $f(x)=x-2$, mi chiedo: se esiste, quanto fa $lim_(x->3) x-2$? Devo dunque trovare un modo per calcolare questo tipo di limiti. Intanto scopro che la mia funzione è definita in $x=3$, e vale $1$. Inoltre, siccome il grafico della mia funzione è "abbastanza regolare", mi viene da pensare che $lim_(x->3) x-2$ possa essere $1$. Per vedere se è proprio $1$, lo verifico tramite la definizione e scopro di aver ragione. Detto questo, scopro poi che la mia funzione ha una proprietà abbastanza interessante, e cioè che $lim_(x->3) x-2=f(3)=1$. Dò allora una definizione a questa cosa, dicendo che la mia funzione è continua in $x_0=3$. Questo modo di procedere agevola di molto il calcolo di limiti di questo tipo, in quanto, se io so a priori che una funzione è continua in un punto o in un intervallo, allora calcolare il limite per $x$ che tende a un certo punto equivale semplicemente a valutare la funzione in quel punto. Il passo successivo è dunque quello di trovare dei criteri che mi permettano di stabilire quali sono le funzioni continue. Una volta che so quali sono le funzioni continue, calcolare limiti di tale tipo è molto semplice, per il motivo detto sopra. In poche parole, quello che voglio dire è che la definizione di continuità è essenziale per calcolare agevolmente i limiti finiti (per $x$ che tende a un valore finito) di funzioni. Definendo fin da subito il concetto di continuità, ho trovato subito un modo per calcolare i limiti di una funzione, senza andare per intuito e poi verificarli con la definizione.
Insomma, è cosi che stanno le cose? Quindi, quando vado a fare $lim_(x->3) x-2$ e dico che il limite è $1$, io sfrutto il fatto che tale funzione è continua vero?
Per quanto riguarda la domanda su McLaurin, la farò dopo. Grazie mille
Dopo aver dato la definizione di limite per una funzione del tipo $RR->RR$, il problema successivo è calcolarlo. Per esempio, data la funzione $f(x)=x-2$, mi chiedo: se esiste, quanto fa $lim_(x->3) x-2$? Devo dunque trovare un modo per calcolare questo tipo di limiti. Intanto scopro che la mia funzione è definita in $x=3$, e vale $1$. Inoltre, siccome il grafico della mia funzione è "abbastanza regolare", mi viene da pensare che $lim_(x->3) x-2$ possa essere $1$. Per vedere se è proprio $1$, lo verifico tramite la definizione e scopro di aver ragione. Detto questo, scopro poi che la mia funzione ha una proprietà abbastanza interessante, e cioè che $lim_(x->3) x-2=f(3)=1$. Dò allora una definizione a questa cosa, dicendo che la mia funzione è continua in $x_0=3$. Questo modo di procedere agevola di molto il calcolo di limiti di questo tipo, in quanto, se io so a priori che una funzione è continua in un punto o in un intervallo, allora calcolare il limite per $x$ che tende a un certo punto equivale semplicemente a valutare la funzione in quel punto. Il passo successivo è dunque quello di trovare dei criteri che mi permettano di stabilire quali sono le funzioni continue. Una volta che so quali sono le funzioni continue, calcolare limiti di tale tipo è molto semplice, per il motivo detto sopra. In poche parole, quello che voglio dire è che la definizione di continuità è essenziale per calcolare agevolmente i limiti finiti (per $x$ che tende a un valore finito) di funzioni. Definendo fin da subito il concetto di continuità, ho trovato subito un modo per calcolare i limiti di una funzione, senza andare per intuito e poi verificarli con la definizione.
Insomma, è cosi che stanno le cose? Quindi, quando vado a fare $lim_(x->3) x-2$ e dico che il limite è $1$, io sfrutto il fatto che tale funzione è continua vero?
Per quanto riguarda la domanda su McLaurin, la farò dopo. Grazie mille
Risposte
Ciao!
Per quanto mi riguarda il tuo discorso è un abito di buona stoffa:
non fà una piega..
Magari perchè è quello che,concretamente,ho sempre pensato in merito:
o almeno da quando,qualche tempo fà,il concetto di limite ha iniziato ad alterare le mie sinapsi neuronali in modo permanente!
Saluti dal web.
Per quanto mi riguarda il tuo discorso è un abito di buona stoffa:
non fà una piega..
Magari perchè è quello che,concretamente,ho sempre pensato in merito:
o almeno da quando,qualche tempo fà,il concetto di limite ha iniziato ad alterare le mie sinapsi neuronali in modo permanente!
Saluti dal web.
Il tuo è un ragionamento circolare: per dimostrare che una funzione è continua in un punto devi calcolare un limite, una volta che sai che la funzione è continua in quel punto puoi usare questo fatto per stabilire quanto vale il limite...
Ciao!
Non ho capito se ritieni tautologico il discorso,
oppure se intendi dire che,nella sua esposizione,avrebbe fatto meglio a scrivere
"se riesco a dimostrare a priori la continuità della funzione nel suo insieme di definizione,
grazie ad esempio ai teoremi sulla continuità,
posso sfruttarla ai fini del calcolo pratico del limite in un punto ma senza passare per l'usuale verifica di quest'ultimo attraverso la definizione":
saluti dal web.
"Rigel":!
Il tuo è un ragionamento circolare: per dimostrare che una funzione è continua in un punto devi calcolare un limite, una volta che sai che la funzione è continua in quel punto puoi usare questo fatto per stabilire quanto vale il limite...
Non ho capito se ritieni tautologico il discorso,
oppure se intendi dire che,nella sua esposizione,avrebbe fatto meglio a scrivere
"se riesco a dimostrare a priori la continuità della funzione nel suo insieme di definizione,
grazie ad esempio ai teoremi sulla continuità,
posso sfruttarla ai fini del calcolo pratico del limite in un punto ma senza passare per l'usuale verifica di quest'ultimo attraverso la definizione":
saluti dal web.
Faccio un esempio.
Dire che $\lim_{x\to 2} x^2 = 4$ perché la funzione $f(x) = x^2$ è continua in $x_0=2$, oppure dire che $\lim_{x\to 2} x^2 = 4$ perché $\lim_{x\to 2} x^2 = 4$ è esattamente la stessa cosa.
Nel primo caso stai dicendo che quel limite vale $4$ perché qualcun altro si è preso la briga di dimostrarlo, nel secondo caso dici che vale $4$ perché vale $4$ (e per saperlo significa che qualcun altro si è preso la briga di dimostrarlo).
In entrambi i casi manca la dimostrazione (non so se mi spiego).
Poi, può darsi che tu nel primo caso abbia già dimostrato in precedenza che $f$ è continua (quindi hai già calcolato, in maniera più o meno esplicita, quel limite), dunque puoi usare questo fatto già dimostrato per concludere che quel limite vale $4$.
Dire che $\lim_{x\to 2} x^2 = 4$ perché la funzione $f(x) = x^2$ è continua in $x_0=2$, oppure dire che $\lim_{x\to 2} x^2 = 4$ perché $\lim_{x\to 2} x^2 = 4$ è esattamente la stessa cosa.
Nel primo caso stai dicendo che quel limite vale $4$ perché qualcun altro si è preso la briga di dimostrarlo, nel secondo caso dici che vale $4$ perché vale $4$ (e per saperlo significa che qualcun altro si è preso la briga di dimostrarlo).
In entrambi i casi manca la dimostrazione (non so se mi spiego).
Poi, può darsi che tu nel primo caso abbia già dimostrato in precedenza che $f$ è continua (quindi hai già calcolato, in maniera più o meno esplicita, quel limite), dunque puoi usare questo fatto già dimostrato per concludere che quel limite vale $4$.
Ah,ok!!
Perchè ad esser sincero ormai sudo un pò,
al pensiero della faticaccia che potrebbe toccarmi affinchè quadrino le nostre interpretazioni,
quando esprimi qualche tuo pensiero sulla continuità
;
io davo per scontato che fosse stata già provata a priori la continuità di f in un sottoinsieme del suo dominio..
D'altronde,anche se forse poteva esser più chiaro,l'ha fatto anche l'autore del post
tutto sommato direi che ha le idee chiare,dai.
Saluti dal web.
Perchè ad esser sincero ormai sudo un pò,
al pensiero della faticaccia che potrebbe toccarmi affinchè quadrino le nostre interpretazioni,
quando esprimi qualche tuo pensiero sulla continuità
;io davo per scontato che fosse stata già provata a priori la continuità di f in un sottoinsieme del suo dominio..
D'altronde,anche se forse poteva esser più chiaro,l'ha fatto anche l'autore del post
"lisdap"::
Questo modo di procedere agevola di molto il calcolo di limiti di questo tipo, in quanto, se io so a priori che una funzione è continua in un punto o in un intervallo, allora calcolare il limite per $x$ che tende a un certo punto equivale semplicemente a valutare la funzione in quel punto. Il passo successivo è dunque quello di trovare dei criteri che mi permettano di stabilire quali sono le funzioni continue. Una volta che so quali sono le funzioni continue, calcolare limiti di tale tipo è molto semplice, per il motivo detto sopra..
tutto sommato direi che ha le idee chiare,dai.
Saluti dal web.
Per carità, ognuno faccia come crede, ci mancherebbe.
Ho solo sottolineato il fatto che, se per calcolare $\lim_{x\to 2} x^2$ posso assumere di sapere già che quel limite fa $4$, non ci metto poi molto a fare il conto.
Ho solo sottolineato il fatto che, se per calcolare $\lim_{x\to 2} x^2$ posso assumere di sapere già che quel limite fa $4$, non ci metto poi molto a fare il conto.
"Rigel":
Per carità, ognuno faccia come crede, ci mancherebbe.
Ho solo sottolineato il fatto che, se per calcolare $\lim_{x\to 2} x^2$ posso assumere di sapere già che quel limite fa $4$, non ci metto poi molto a fare il conto.
Uhmmm, quindi i criteri che mi permettono di dimostrare la continuità di una funzione devono prescindere dal calcolo di limiti giusto?
Riassumendo, le cose da fare sono:
1) dare la definizione di limite di quel tipo;
2) dare la definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo;
3) stabilire, mediante dei criteri, quali siano le funzioni continue (naturalmente tali criteri possono "fare uso" soltanto della definizione di limite, non sapendo fare altro).
Fatto questo, se so che la funzione è continua in un punto o in un intervallo, calcolare il suo limite (relativamente al caso che stiamo trattando, e cioè si limite finito per l'ascissa che tende ad un valore finito) equivale a calcolare la funzione nel punto. E' corretto? Grazie mille.
Esempio: Devo calcolare $lim_(x->2) x^2$, SAPENDO SOLO LA DEFINIZIONE DI LIMITE. I passi che dovrò fare la prima volta, per risparmiarmi molte fatiche dopo sono:
1) Calcolo la funzione in $x=2$;
2) Dico che cos'è una funzione continua in un punto;
3) Dopo molti tentativi, verifico con la definizione che il limite è $4$;
4) Posso dunque dire che la funzione è continua in $x=2$.
Ricordandomi di questo ragionamento, la seconda volta che andrò a calcolare questo limite, sapendo che la funzione è continua, posso dire subito che esso è quattro.
"lisdap":
...
Fatto questo, se so che la funzione è continua in un punto o in un intervallo, calcolare il suo limite (relativamente al caso che stiamo trattando, e cioè si limite finito per l'ascissa che tende ad un valore finito) equivale a calcolare la funzione nel punto. E' corretto? Grazie mille.
Sì, è corretto (nel caso di un punto, purché il punto appartenga al e sia di accumulazione per il dominio della funzione).
"Rigel":
[quote="lisdap"]...
Fatto questo, se so che la funzione è continua in un punto o in un intervallo, calcolare il suo limite (relativamente al caso che stiamo trattando, e cioè si limite finito per l'ascissa che tende ad un valore finito) equivale a calcolare la funzione nel punto. E' corretto? Grazie mille.
Sì, è corretto (nel caso di un punto, purché il punto appartenga al e sia di accumulazione per il dominio della funzione).[/quote]
Ok, ti ringrazio. Ho aggiunto due righe al post precedente.
"lisdap":
[quote="Rigel"][quote="lisdap"]...
Fatto questo, se so che la funzione è continua in un punto o in un intervallo, calcolare il suo limite (relativamente al caso che stiamo trattando, e cioè si limite finito per l'ascissa che tende ad un valore finito) equivale a calcolare la funzione nel punto. E' corretto? Grazie mille.
Sì, è corretto (nel caso di un punto, purché il punto appartenga al e sia di accumulazione per il dominio della funzione).[/quote]
Ok, ti ringrazio. Ho aggiunto due righe al post precedente.[/quote]
Alla fine questa questione penso sia più di logica che di matematica.
Facciamo una simulazione d'esame.
prof: Mi saprebbe calcolare $\lim_{x\to 2} x$?
lisdap: Tale limite fa $2$ poiché la funzione $f(x) = x$, $x\in\RR$, è continua in $x_0 = 2$.
prof: Mi saprebbe dimostrare che la funzione $f(x) = x$, $x\in\RR$, è continua in $x_0 = 2$?
lisdap: La funzione $f(x) = x$, $x\in\RR$, è continua in $x_0 = 2$ poiché $\lim_{x\to 2} x = 2$.
Tutte le risposte di lisdap sono corrette.
prof: Mi saprebbe calcolare $\lim_{x\to 2} x$?
lisdap: Tale limite fa $2$ poiché la funzione $f(x) = x$, $x\in\RR$, è continua in $x_0 = 2$.
prof: Mi saprebbe dimostrare che la funzione $f(x) = x$, $x\in\RR$, è continua in $x_0 = 2$?
lisdap: La funzione $f(x) = x$, $x\in\RR$, è continua in $x_0 = 2$ poiché $\lim_{x\to 2} x = 2$.
Tutte le risposte di lisdap sono corrette.
Ciao,Rigel!
Illuminante,in merito al tuo pensiero sull'argomento,l'ultimo post;
in effetti si viaggia su un equilibrio logico abbastanza sottile,
che a ben pensarci è simile a quanto accade tra derivata in un punto e funzione derivata
(anche se in tal caso il filo logico è un pò più largo di quello del rasoio,
dato che l'interpretazione analitica del concetto di derivata in un insieme richiede una famiglia di limiti,
determinabili tutti allo stesso modo,
e non una famiglia di derivate):
a me sembra che Lispdap non cada mai,però..
A quest'ultimo devo invece fare una richiesta:
è da anni che cerco i miei appunti d'Analisi I,persi chissà dove in giro per l'Italia..
Visto che sembra siano arrivati a te chissà come
,
puoi restituirmi gli originali??????
Sono un caro ricordo!! 
Grazie ad entrambi per l'occasione di riflessione:
saluti dal web.
Illuminante,in merito al tuo pensiero sull'argomento,l'ultimo post;
in effetti si viaggia su un equilibrio logico abbastanza sottile,
che a ben pensarci è simile a quanto accade tra derivata in un punto e funzione derivata
(anche se in tal caso il filo logico è un pò più largo di quello del rasoio,
dato che l'interpretazione analitica del concetto di derivata in un insieme richiede una famiglia di limiti,
determinabili tutti allo stesso modo,
e non una famiglia di derivate):
a me sembra che Lispdap non cada mai,però..
A quest'ultimo devo invece fare una richiesta:
è da anni che cerco i miei appunti d'Analisi I,persi chissà dove in giro per l'Italia..
Visto che sembra siano arrivati a te chissà come
,puoi restituirmi gli originali??????
Sono un caro ricordo!!
Grazie ad entrambi per l'occasione di riflessione:
saluti dal web.
Salve, ho una domanda, molto banale peraltro, che però mi crea qualche problema logico.
Supponiamo di avere la funzione $f(x)=x^3/x^2$. Tale funzione non è definita in $x=0$, e questo è ovvio in quanto la divisione $0/0$ è indeterminata. Inoltre, notiamo che la funzione $f(x)=x$, funzione che si ottiene semplificando quella di prima, è diversa dalla precedente in quanto quest'ultima è definita in $x=0$. Detto questo, supponiamo di voler calcolare $lim_(x->0) x^3/x^2$. I passaggi che si eseguono sono: semplificare quel quoziente e calcolare il limite per $x$ che tende a zero della funzione $f(x)=x$, la quale, essendo continua, ammette come limite zero. Insomma, le due funzioni sono diverse però, per calcolare quel limite, ho sostituito la funzione $x^3/x^2$ con la funzione $x$. Volevo dunque sapere come si giustificava concettualmente tale passaggio. Grazie mille.
EDIT: Forse ho la risposta. In pratica le due funzioni differiscono soltanto nell'origine, dal momento che una esiste in tale punto e l'altra no. Qundi, siccome sto calcolando un limite e dunque non mi interessa cosa fa la funzione nell'origine, è possibile fare quella semplificazione.
Supponiamo di avere la funzione $f(x)=x^3/x^2$. Tale funzione non è definita in $x=0$, e questo è ovvio in quanto la divisione $0/0$ è indeterminata. Inoltre, notiamo che la funzione $f(x)=x$, funzione che si ottiene semplificando quella di prima, è diversa dalla precedente in quanto quest'ultima è definita in $x=0$. Detto questo, supponiamo di voler calcolare $lim_(x->0) x^3/x^2$. I passaggi che si eseguono sono: semplificare quel quoziente e calcolare il limite per $x$ che tende a zero della funzione $f(x)=x$, la quale, essendo continua, ammette come limite zero. Insomma, le due funzioni sono diverse però, per calcolare quel limite, ho sostituito la funzione $x^3/x^2$ con la funzione $x$. Volevo dunque sapere come si giustificava concettualmente tale passaggio. Grazie mille.
EDIT: Forse ho la risposta. In pratica le due funzioni differiscono soltanto nell'origine, dal momento che una esiste in tale punto e l'altra no. Qundi, siccome sto calcolando un limite e dunque non mi interessa cosa fa la funzione nell'origine, è possibile fare quella semplificazione.
Ti sei risposto correttamente da solo: il fatto che la funzione sia definita in $x_0$ (punto in cui stai facendo il limite) o, in caso sia definita, il valore che essa assume in $x_0$, sono ininfluenti per quanto riguarda l'esistenza o il valore del limite.
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