Continuità $\epsilon - \delta$

[Sk_Anonymous]

Buongiorno a tutti. Vorrei domandare conferma intorno allo svolgimento di un esercizio sulla definizione di continuità \(\displaystyle \epsilon - \delta \) (e anche conferma intorno ad alcuni concetti cardine - vedi fine post), argomento soltanto accennato nell'ultima lezione prima delle vacanze.

Sia \(\displaystyle \mathrm{A} \subset \mathbb{R} \) l'insieme \(\displaystyle \mathrm{A}= \left \{ x \in \mathbb{R} : x \ne 2 \right \} \) e si consideri la funzione \(\displaystyle f:\mathrm{A} \rightarrow \mathbb{R} \) \[\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x+2}, \quad \quad \quad \quad x \in \mathrm{A} \]
Usando la definizione \(\displaystyle \epsilon - \delta \), provare che la funzione \(\displaystyle f \) è continua in \(\displaystyle \mathrm{A} \).

Svolgimento:
Richiamo della definizione:
Siano \(\displaystyle (\mathrm{X},d_{x}) \) e \(\displaystyle (\mathrm{Y},d_{y}) \) due spazi metrici e sia \(\displaystyle x_{0} \in \mathrm{X} \). Una funzione \(\displaystyle f:\mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y} \) si dice continua nel punto \(\displaystyle x_{0} \in \mathrm{X} \) se per ogni \(\displaystyle \epsilon > 0 \) esiste \(\displaystyle \delta >0 \) tale che per ogni \(\displaystyle x \in \mathrm{X} \) vale la seguente implicazione: \[\displaystyle d_{x}(x,x_{0})<\delta \quad \Rightarrow \quad d_{y}(f(x),f(x_{0}))<\epsilon \]

Quello che ho capito è che, una volta fissato \(\displaystyle x_{0} \), \(\displaystyle \delta \) deve necessariamente dipendere da \(\displaystyle \epsilon \) e da \(\displaystyle x_{0} \).
Fissato ora \(\displaystyle x_{0} \), nel mio caso si ha: \[\displaystyle \left| \frac{2x+1}{x+2} - \frac{2x_{0} + 1}{x_{0} +2} \right| < \epsilon \]
\[\displaystyle \left | \frac{x-x_{0}}{(x+2)(x_{0}+2)} \right | < \frac{\epsilon}{3} \]
\[\displaystyle \frac{|x-x_{0}|}{|x+2|} < \frac{\epsilon}{3} |x_{0}+2| \]

Ora distinguerei due casi:
1° caso: \(\displaystyle |x_{0}+2|>|x+2| \);
2° caso: \(\displaystyle |x_{0}+2|<|x+2| \).

Nel primo caso avrei \[\displaystyle \frac{|x-x_{0}|}{|x_{0}+2|} < \frac{|x-x_{0}|}{|x+2|} < \frac{\epsilon}{3}|x_{0}+2| \]
da cui \[\displaystyle |x-x_{0}|<\frac{\epsilon}{3}|x_{0}+2|^{2}=\delta \]
Nel secondo caso avevo pensato di fare in questa maniera: \[\displaystyle -\frac{|x-x_{0}|}{|x_{0}+2|} < \frac{|x-x_{0}|}{|x+2|} < \frac{\epsilon}{3}|x_{0}+2| \]
\[\displaystyle -|x-x_{0}|<\frac{\epsilon}{3}|x_{0}+2|^{2} \]
da cui... Non riesco a proseguire.

Ad ogni modo vorrei arrivare da solo a risolvere il secondo caso. Ciò che domando è: la risoluzione dell'esercizio può considerarsi corretta? Ho operato bene?

Ho poi un paio di domande di carattere più teorico:
1. Una volta costruito \(\displaystyle \delta \) dipendente da \(\displaystyle \epsilon \) e da \(\displaystyle x_{0} \) fissati, l'implicazione della definizione vale perché è possibile ripercorrere a ritroso i passaggi che si sono fatti per ricavarlo?
2. Quando affermo che \(\displaystyle \forall \ \epsilon >0 \quad \mathrm{si} \ \mathrm{ha} \quad |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \) significa che comunque preso un \(\displaystyle \epsilon \) arbitrariamente piccolo, esiste un intorno di \(\displaystyle x_{0} \) tale che per tutti gli \(\displaystyle x \in \ \mathrm{tale} \ \mathrm{intorno} \) la differenza in valore assoluto \(\displaystyle f(x)-f(x_{0}) \) rimane comunque più piccola di \(\displaystyle \epsilon \)?

Chiedo perdono per avervi di nuovo annoiato. Grazie per l'attenzione.

[Seneca1]

"Delirium":
Ho poi un paio di domande di carattere più teorico:
1. Una volta costruito \(\displaystyle \delta \) dipendente da \(\displaystyle \epsilon \) e da \(\displaystyle x_{0} \) fissati, l'implicazione della definizione vale perché è possibile ripercorrere a ritroso i passaggi che si sono fatti per ricavarlo?

Sì, preso $epsilon$, cerchi $delta$ in modo tale che sia soddisfatta questa: $| f(x) - f(x_0) | < epsilon$. Quindi parti proprio da quest'ultima...

2. Quando affermo che \(\displaystyle \forall \ \epsilon >0 \quad \mathrm{si} \ \mathrm{ha} \quad |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \) significa che comunque preso un \(\displaystyle \epsilon \) arbitrariamente piccolo, esiste un intorno di \(\displaystyle x_{0} \) tale che per tutti gli \(\displaystyle x \in \ \mathrm{tale} \ \mathrm{intorno} \) la differenza in valore assoluto \(\displaystyle f(x)-f(x_{0}) \) rimane comunque più piccola di \(\displaystyle \epsilon \)?

Esattamente. Anche se è più corretto scrivere $AA x in "tale intorno" nn Dom(f)$...

[DMNQ]

"Delirium":
Sia \(\displaystyle \mathrm{A} \subset \mathbb{R} \) l'insieme \(\displaystyle \mathrm{A}= \left \{ x \in \mathbb{R} : x \ne 2 \right \} \) e si consideri la funzione \(\displaystyle f:\mathrm{A} \rightarrow \mathbb{R} \) \[\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x+2}, \quad \quad \quad \quad x \in \mathrm{A} \]
Usando la definizione \(\displaystyle \epsilon - \delta \), provare che la funzione \(\displaystyle f \) è continua in \(\displaystyle \mathrm{A} \).

Quando $ \epsilon > 0 $ è fissato , si deve trovare $ \delta > 0 $ e preoccuparsi degli $ x $ verificando $ | x - x_0 | < \delta $ .
Si avrebbe $ d( x , -2 ) >= \frac{1}{2} d(x_0 , - 2 ) $ cioè $ | x + 2 | >= \frac{1}{2} |x_0+2 | $ se si scegliesse già $ \delta <= \frac{1}{2} |x_0+2 | $ . ( vedere questo con un disegno )
Cosi , $ | \frac{x-x_{0}}{(x+2)(x_{0}+2)} | <= 2 \frac{ | x-x_{0} | }{ (x_{0}+2)^2} $ e dopo , il ragionamento è più facile .

[Paolo902]

Un'osservazione.

"Delirium":
Siano \(\displaystyle (\mathrm{X},d_{x}) \) e \(\displaystyle (\mathrm{Y},d_{y}) \) due spazi metrici e sia \(\displaystyle x_{0} \in \mathrm{X} \). Una funzione \(\displaystyle f:\mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y} \) si dice continua nel punto \(\displaystyle x_{0} \in \mathrm{X} \) se per ogni \(\displaystyle \epsilon > 0 \) esiste \(\displaystyle \delta >0 \) tale che per ogni \(\displaystyle x \in \mathrm{X} \) vale la seguente implicazione: \[\displaystyle d_{x}(x,x_{0})<\delta \quad \Rightarrow \quad d_{y}(f(x),f(x_{0}))<\epsilon \]

Quello che ho capito è che, una volta fissato \(\displaystyle x_{0} \), \(\displaystyle \delta \) deve necessariamente dipendere da \(\displaystyle \epsilon \) e da \(\displaystyle x_{0} \).

Perchè quell'avverbio? Io sostituirei "deve necessariamente" con "può eventualmente".
Certo, molto spesso il $delta$ dipende sia da $epsilon$ che da $x_0$; però, può accadere anche che sia indipendente da $epsilon$ (pensa ad una funzione costante!) o che sia indipendente da $x_0$ (considera ad esempio $x \mapsto ax+b$, con $a,b$ reali fissati).

Le funzioni con questa ultima proprietà sono particolarmente importanti e si chiamano uniformemente continue (proprio perchè il $delta$ di continuità non dipende dal punto $x_0$). Se non le hai ancora viste, sono certo che le vedrai a breve.

[Sk_Anonymous]

Grazie a tutti!

@DMNQ: perdonami, ma non capisco quello che intendi dire.
@Paolo90: grazie per la precisazione. Errore linguistico/logico dovuto all'inesperienza.

[Seneca1]

"Delirium":Chiedo perdono per avervi di nuovo annoiato. Grazie per l'attenzione.

Esagerato... Tra le persone quivi connesse tu sei certamente uno di quelli che arricchisce questo foro.

[Sk_Anonymous]

@Seneca:

Caspita è da un po' che ci penso, ma ancora non sono riuscito a sbrogliare il secondo caso. Qualcuno ha delle idee oppure delle alternative da passarmi?

[Gi81]

Secondo me il secondo caso conduce ad un vicolo cieco. Non riesci ad arrivare a nulla di vantaggioso.

Volevo sottolineare una cosa : la tua funzione è $f(x)=2-3/(x+2)$
Studiarne la continuità $AA x != -2$ equivale a studiare,
a meno di costanti e traslazioni, la continuità della funzione (un po' più comoda) $g(x)=1/x$, $AA x !=0$

Sia $x_0!=0$. Si ha $|1/x-1/x_0| |(x-x_0)/(x*x_0)| (N.B: è la stessa cosa a cui sei arrivato tu nel tuo esercizio,
se non per il fatto che qui c'è $epsilon$ invece di $epsilon/3$)

Ti consiglio di provare a fare questa. Poi avrai gratis la risoluzione del tuo esercizio

Hint:

Suddividi in due casi.
1) $|x_0|>=1$: qui è abbastanza semplice trovare $delta$. Non dipende nemmeno da $x_0$
2) $0<|x_0|<1$: qui puoi dimostrare che $EE n=n(x_0) in NN$ tale che $|x_0|>1/2^n$.
Ti servirà per trovare $delta=delta(n,epsilon)$, cioè $delta=delta(x_0,epsilon)$

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, Giotto. Nel frattempo io avevo pensato di provare tramite la definizione la continuità di \(\displaystyle 2x+1 \) e di \(\displaystyle x+2 \), e quindi chiudere dicendo che la reciproca di funzione continua è continua (ove non si annulla, ovviamente) e il prodotto tra funzioni continue è una funzione continua.
Tuttavia mi è sembrata una via troppo "furba".

Ora proverò a seguire il tuo consiglio. Grazie!

[Seneca1]

"Delirium":Hai ragione, Giotto. Nel frattempo io avevo pensato di provare tramite la definizione la continuità di \(\displaystyle 2x+1 \) e di \(\displaystyle x+2 \), e quindi chiudere dicendo che la reciproca di funzione continua è continua (ove non si annulla, ovviamente) e il prodotto tra funzioni continue è una funzione continua.
Tuttavia mi è sembrata una via troppo "furba".

Eh già... Non penso sia questo lo scopo dell'esercizio.

[Sk_Anonymous]

Chiedo venia, Gi8, ma mi sono impantanato in calcoli, e ancora non ho imboccato una via battuta. Perché quella suddivisione?
Non riesco a svincolare il mio \(\displaystyle \epsilon \) dal generico \(\displaystyle x \).

[Gi81]

1) $|x_0|>=1$

Scelgo $delta <1/2$. In questo modo sono sicuro che $|x|>1/2$
Dunque $|(x-x_0)/(x*x_0)|< delta*1/|x|*1/|x_0| Prendendo $delta
Ecco, in questo caso basta scegliere $delta=1/10 * min{1/2,epsilon}$
(così sono sicuro che $delta<1/2$ e che $delta

2) $0<|x_0|<1$

Come detto prima, $EE n=n(x_0) in NN$ tale che $|x_0|>1/2^n$ (questo lo lascio dimostrare a te)
Scelgo $delta <1/(2^(n+1))$ e ho che $|x|>1/2^(n+1)$
Dunque $|(x-x_0)/(x*x_0)|< delta*1/|x|*1/|x_0|
Basta scegliere $delta< epsilon/(2^n*2^(n+1))$ e sono a posto.

Pertanto in questo caso scegliamo $delta =1/10* min{1/(2^(n+1)),epsilon/(2^n*2^(n+1))}$

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[Sk_Anonymous]

Porca miseria, effettivamente è abbastanza logico che si possa limitare \(\displaystyle \delta \).
Non ci avevo proprio pensato.

Grazie per la pazienza, e perdona la pedanteria.

[Gi81]

Tranquillo. Citando Seneca,

"Seneca":Tra le persone quivi connesse tu sei certamente uno di quelli che arricchisce questo foro.

Dunque, felice di esserti stato utile

All'inizio non è tutto così semplice e immediato,
ma piano piano arriverai ad avere molta più dimestichezza con questa robaccia dei $delta$ e degli $epsilon$.

Ad maiora!

[Seneca1]

Disegna il grafico di $f(x) = 1/x$ in un riferimento cartesiano. Appare evidente una cosa: i problemi sulle scelta del $delta$ della definizione di continuità nascono in un intorno dello $0$, ove il grafico presenta un asintoto verticale.

Io farei una semplificazione ulteriore... Essendo il grafico della funzione simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, possiamo limitarci a studiare il caso in cui $x_0 in (0, +oo)$.

Allora, con la suddivisione fatta da Gi8, vai a considerare prima il caso in cui:

$x_0 > 1$[/list:u:1my4nrwq]

$|1/x - 1/x_0 |= |(x_0 - x )|/(x * x_0) <= |(x_0 - x )|/(x * x_0) * x_0 <= |(x_0)/x - 1| < epsilon$

$- epsilon < (x_0)/x - 1 < epsilon$

Quindi:

$- epsilon < (x_0)/x - 1$ $Rightarrow $ $x_0/(1 - epsilon) > x$ (con $epsilon < 1$)

$ (x_0)/x - 1 < epsilon$ $Rightarrow $ $x_0/(epsilon + 1) < x$

$x_0/(epsilon + 1) < x < x_0/(1 - epsilon) $ che è un intorno di $x_0$.


Per $0 < x_0 < 1$ opererei così:[/list:u:1my4nrwq]

$|1/x - 1/x_0 | < epsilon$, che, nelle ipotesi fatte, è equivalente a:

$- epsilon x < 1 - x/x_0 < epsilon x $

$- epsilon x < 1 - x/x_0$ $Rightarrow$ $ x (1/x_0 - epsilon ) < 1$ , $x < 1/(1/x_0 - epsilon)$ (a patto che $epsilon < 1/x_0$, che non è restrittivo)

Analogamente l'altro pezzo. Si trova quindi $I_(x_0) = ( x_0/(epsilon x_0 + 1) , x_0/(1 - epsilon x_0) )$ .

Ho fatto più conti, ma penso sia giusto. Aspetto critiche.

[Sk_Anonymous]

Ripesco questo topic per evitare di aprirne uno nuovo.
Volendo provare di nuovo mediante la definizione la continuità su tutto \(\displaystyle \mathbb{C} \) della funzione \[\displaystyle f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}, \quad \quad f(z)=\frac{z^{2}}{|z|^{2} +1}, \quad z \in \mathbb{C} \]
come potrei operare? Ravanando un po' algebricamente riesco a trovare un \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle |z|-|z_{0}| < \delta \), ma questa non è propriamente la definizione di continuità... Qualcuno ha qualche idea?

Grazie in anticipo!

[Sk_Anonymous]

Per esempio, si potrebbe passare alla forma esponenziale:

$[z=rhoe^(itheta)] rarr [f(z)=z^2/(|z|^2+1)=(rho^2e^(2itheta))/(rho^2+1)=rho^2/(rho^2+1)e^(2itheta)]$

e dimostrare che le seguenti funzioni:

$[f_1(rho)=rho^2/(rho^2+1)]$

$[f_2(theta)=e^(2itheta)] rarr [f_2(theta)=cos(2theta)+isen(2theta)]$

sono "banalmente" continue. Ma forse eri interessato ad un altro tipo di risoluzione.

[Sk_Anonymous]

Può essere un'idea, speculor, anche se io cercavo di elaborare una risoluzione affine a quella di Gi8 del precedente esercizio.

[Sk_Anonymous]

... E se facessi:
\[\displaystyle \left| \frac{z^{2}}{|z|^{2}+1} - \frac{z_{0} ^{2}}{|z_{0}|^{2}+1|} \right|=\left| \frac{z^{2}|z_{0}|^{2}+z^{2} - z_{0} ^{2} |z|^{2} - z_{0} ^{2}}{(|z|^{2}+1)(|z_{0}| ^{2} +1)} \right| \le \frac{|z^{2} - z_{0} ^{2}|}{|z_{0}|^{2} +1} + \frac{|z^{2} |z_{0}|^{2} - z_{0} ^{2} |z|^{2}|}{|z_{0}|^{2} +1} \]
\[\displaystyle = \frac{|z^{2} - z_{0} ^{2}|}{|z_{0}|^{2} +1} + \frac{|z^{2} z_{0} ^{2}| \cdot \left| \frac{\overline{z_{0}}}{z_{0}} - \frac{\overline{z}}{z} \right |}{|z_{0}|^{2} +1} \le \frac{2 \cdot|z^{2} z_{0}^{2}|\cdot |z^{2} - z_{0} ^{2}|}{|z_{0}| ^{2} +1}\]

Posto quindi \(\displaystyle |z - z_{0}| \le 1 \) potrei maggiorare di nuovo l'ultima ( \(\displaystyle |z| \le |z-z_{0}| + |z_{0}| \le 1 + |z_{0}| \) ) e ricavare il mio \(\displaystyle \delta \) ... ?