Continuità e successioni

[ProPatria]

ciao. Sto facendo un esercizio e credo di averlo svolto ma vorrei una conferma da voi. eccolo:
sia $f:RRtoRR$ funzione \( t.c. f(\limsup a_n)=\limsup f(a_n), \) $ AA {a_n}sub RR $ successione limitata,
Dimostra che f è continua.
(limsup è il sup tra i possibili limiti)
Questo è come ho provato a farlo:

sia $x_0inRR$.
sia $ {a_n}sub RR $ successione limitata con $a_ntox_0$.
Per il teorema ponte:
$ lim_(x -> x_0) f(x)=lim f(a_n) $
ma allora:
\( \lim f(a_n)=\limsup f(a_n) \)
poichè se esiste il limite il limsup coincide con esso.
Dunque per ipotesi:
\( \limsup f(a_n)=f(\limsup a_n) \)
e per la convergenza di $a_n$ a $x_0$:
\(f(\limsup a_n)=f(\lim a_n)=f(x_0)\);
Dunque $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $ come volevo.

So che non è banale ma vorrei un aiuto

[dissonance]

Per usare il "teorema ponte", come lo chiami tu, dovresti sapere a priori che \(f\) è continua, ma questo è proprio quello che vuoi dimostrare.

[ProPatria]

\(\displaystyle \)

"dissonance":Per usare il "teorema ponte", come lo chiami tu, dovresti sapere a priori che \(f\) è continua, ma questo è proprio quello che vuoi dimostrare.

Chiaro grazie... allora potrei fare così:

$lim_(xtox_0)f(x)$ può non esistere, cioè $f(x)$ può ammettete più limiti in $x=x_0$. Sia \( \mathcal{L} \) la classe dei suoi possibili limiti.
Considero ${a_n}tox_0$ successione limitata tale che $AAlin$\( \mathcal{L} \) esiste ${a_(k_n)}$ sottosuccessione di ${a_n}$ con $f(a_(k_n))tol$.
A questo punto ripeto il procedimento sopra
(questo:

"ProPatria":
\( \lim f(a_n)=\limsup f(a_n) \)
poichè se esiste il limite il limsup coincide con esso.
Dunque per ipotesi:
\( \limsup f(a_n)=f(\limsup a_n) \)
e per la convergenza di $a_n$ a $x_0$:
\(f(\limsup a_n)=f(\lim a_n)=f(x_0)\)

)
per ogni sottosuccessione ottenuta dai possibili $l$ e mi da che $f(a_(k_n))tof(x_0)$ (Per ogni sottosuccessione).
Credi che vada bene?

[ProPatria]

Up per favore

[dissonance]

Non ho capito cosa stai facendo. Devi dimostrare che
\[
\lim_{n\to \infty} x_n=x \ \Rightarrow \ \lim_{n\to \infty} f(x_n)=f(x).\]
Il tuo ragionamento dimostra che
\[
\lim_{n\to \infty} x_n=x \ \Rightarrow \ \limsup_{n\to \infty} f(x_n)=f(x).\]
Come fai a dimostrare che
\[
\limsup_{n\to \infty} f(x_n)=\lim_{n\to \infty} f(x_n)?\]
Quello è l'anello mancante.

[ProPatria]

"dissonance":
Come fai a dimostrare che
\[
\limsup_{n\to \infty} f(x_n)=\lim_{n\to \infty} f(x_n)?\]
Quello è l'anello mancante.

Scusa ma a me questo sembrava ovvio. Perchè l'esistenza di
\[
\lim_{n\to \infty} f(x_n)=L\]
Implica che $f(x_n)$ ha un solo possibile limite, cioè $L$. Dunque è chiaro che il sup dell'insieme dei possibili limiti è $L$:
\[
\limsup_{n\to \infty} f(x_n)=L\]
Forse mi sfugge qualcosa... nel caso ti chiedo un suggerimento

[dissonance]

Esatto, ma l’esistenza di \(\lim_{n\to \infty} f(x_n)\) non è scontata. Non sappiamo a priori che \(f\) è continua, quindi non è detto che quel limite esista: devi dimostrarlo.

[ProPatria]

"dissonance":Esatto, ma l’esistenza di \(\lim_{n\to \infty} f(x_n)\) non è scontata. Non sappiamo a priori che \(f\) è continua, quindi non è detto che quel limite esista: devi dimostrarlo.

Ho capito. Provo a dimostrarlo allora:

sia $x_ntox_0$ successione limitata.
se fosse che $ lim_(nto+oo)f(x_n) $ non esiste allora potrei prendere ${x_(M_n)}, {x_(m_n)}$ sottosuccessioni di ${x_n}$ tali che $ lim_(nto+oo)f(x_(M_n)) $ è il massimo dei possibili limiti di $f(x_n)$, cioè:

$ lim_(nto+oo)f(x_(M_n))=$\(\limsup_{n\to \infty} f(x_n)\)

analogamente $ lim_(nto+oo)f(x_(m_n)) $ è il minimo dei possibili limiti di $f(x_n)$:

$ lim_(nto+oo)f(x_(m_n))=$\(\liminf_{n\to \infty} f(x_n)\)

A questo punto per ipotesi:

\(f(\limsup_{n\to \infty}\)$x_(M_n))$\(=\limsup_{n\to \infty}\)$f(x_(M_n))$

cioè:

\(f(x_0)=\limsup_{n\to \infty} f(x_n)\)

e allo stesso modo:

\(f(\limsup_{n\to \infty}\)$x_(m_n))$\(=\limsup_{n\to \infty}\)$f(x_(m_n))$

dunque:

\(f(x_0)=\liminf_{n\to \infty} f(x_n)\)

ma allora, poichè limite inferiore e limite superiore di $f(x_n)$ coincidono, il suo limite esiste ed è proprio:

$ lim_(nto+oo)f(x_n)=f(x_0) $

per favore fammi sapere se è giusto

[dissonance]

Potresti scriverlo meglio, ma va bene

[ProPatria]

Grazie mille