Continuità e serie

[kika_17]

Ciao a tutti il testo dell'esercizio è questo:

Sia a ∈ (0, $oo$) e sia $f_a$ : (0, $oo$)→ $RR$ definita come

$f_a$ (x) := $log (1+x^(2a)) / [x^(4a) + arctan (x^3)]$

i) Per quali a la funzione fa è prolungabile con continuità in x = 0?
ii) Per quali a la serie numerica $\sum_{n=1}^(oo)$ $f_a$ (n) converge?

Allora, dato che $f_a$ non è definita in x=0 devo vedere se il limite per x che tende a 0 esiste finito, giusto?
io ho usato gli sviluppi notevoli e ho trovato:

$\lim_{x \to \0}(1/x^(2a) -1/2)/(1+(x^3/x^(4a))]$

per essere finito ho posto il denominatore diverso da zero, quindi $x^(4a)$ $!=$ $-x^(3)$ quindi a????

Nel secondo punto sono partita sempre dagli sviluppi notevoli e ho trovato:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{8a^2}+n^{6a}}$

tra $a^2$ e a considero a ... quindi per convergere 6a>1 cioè a>$1/6$

è giusto?

GRAZIE

[21zuclo]

"kika_17":Ciao a tutti il testo dell'esercizio è questo:

Sia a ∈ (0, $oo$) e sia $f_a$ : (0, $oo$)→ $RR$ definita come

$f_a$ (x) := $log (1+x^(2a)) / [x^(4a) + arctan (x^3)]$

i) Per quali a la funzione fa è prolungabile con continuità in x = 0?
ii) Per quali a la serie numerica $\sum_{n=1}^(oo)$ $f_a$ (n) converge?

Allora, dato che $f_a$ non è definita in x=0 devo vedere se il limite per x che tende a 0 esiste finito, giusto?
io ho usato gli sviluppi notevoli e ho trovato:

$\lim_{x \to \0}(1/x^(2a) -1/2)/(1+(x^3/x^(4a))]$

hai già sbagliato lo sviluppo del logaritmo, il suo sviluppo è $\ln(1+x)=x-(x^2)/(2)+...+o(x^n)$, se $x\rightarrow 0$

qui hai $\ln(1+x^{2\alpha})= x^{2\alpha}-((x^{2\alpha})^2)/(2)+...$

e poi $\arctan(x^3)=x^3+o(x^3)$

per cui riscriviamo, limitandoci al primo ordine prima (prima con gli o-piccoli e poi l'asintotico)

$\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2\alpha}+o(x^{2\alpha}))/(x^4+x^3+o(x^3))\sim_{x\rightarrow0} (x^{2\alpha})/(x^3)=(1)/(x^{3-2\alpha})$

ora devi dividere i vari casi

poi anche la serie secondo me non è corretta

"kika_17":
Nel secondo punto sono partita sempre dagli sviluppi notevoli e ho trovato:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{8a^2}+n^{6a}}$

tra $a^2$ e a considero a ... quindi per convergere 6a>1 cioè a>$1/6$

poi questa la devi trattare come serie numerica per cui ti diventa $\sum (\ln(1+n^{2\alpha}))/(n^4+\arctan(n^3))$

e il termine generale si comporta asintoticamente così

$a_n\sim (\ln(n^{2\alpha}))/(n^4)=(2\alpha\cdot \ln(n))/(n^4)=2\alpha\cdot (1)/(n^4\cdot \ln^{-1} n)$

il $2\alpha$ lo puoi trascurare perchè è un numero sempre positivo, per cui ha da studiare questa serie

$\sum (1)/(n^4\cdot \ln^{-1} n)$

e questa per sapere quando corverge o diverge ci si riferisce alla serie campione $\sum (1)/(n^p\cdot \ln^q n)$

sicuramente sul tuo libro di analisi 1 c'è, quando converge o diverge.

Se hai domande chiedi

[kika_17]

"21zuclo":
$limx→0 [x^(2α)+o(x^(2α))]/[x^4+x^3+o(x^3)]$

"21zuclo":
$∑ [ln(1+n^(2α))]/[n^4+arctan(n^3)]$

al denominatore la x (o la n) è elevata a "4a" non a "4" ...

[21zuclo]

ah ok è $4\alpha$

allora per il limite.. si ha $x\rightarrow 0$, quel $x^{4\alpha}$ sparisce, perchè è un $o(x^3)$

quando la $x\rightarrow 0$ devo prendere le potenze più piccole!! per cui il risultato del limite non cambia!

stessa cosa la serie hai infine questo $(1)/(n^{4\alpha}\cdot \ln^{-1} n)$ non cambia nulla tanto quel numero $\alpha$ è sempre maggiore di zero e quindi positivo!..

se hai domande chiedi