Continuità e punti fissi
Mi trovo alle prese con il seguente esercizio (Zorich - Mathematical Analysis I):
if two continuous mappings \(\displaystyle f \) and \(\displaystyle g \) of an interval into itself commute, that
is, \(\displaystyle f\circ g = g\circ f \), then they have a common fixed point.
Per domini rappresentati da intervalli chiusi dimostrarlo è banale, ma se $f$ e $g$ sono definite su un intervallo aperto, mi sembra che l'enunciato sia falso.
Infatti:
\(\displaystyle f:(0,1) \to (0,1) \), \(\displaystyle f(x)=x^2 \);
\(\displaystyle g:(0,1) \to (0,1) \), \(\displaystyle g(x)=x^2 \);
esse sono continue in \(\displaystyle (0,1) \) e commutano, ma non hanno punti fissi in \(\displaystyle (0,1) \), e non ne ha nemmeno la loro composizione \(\displaystyle f(g(x))=g(f(x))=x^4 \).
Mi sono perso qualcosa?
if two continuous mappings \(\displaystyle f \) and \(\displaystyle g \) of an interval into itself commute, that
is, \(\displaystyle f\circ g = g\circ f \), then they have a common fixed point.
Per domini rappresentati da intervalli chiusi dimostrarlo è banale, ma se $f$ e $g$ sono definite su un intervallo aperto, mi sembra che l'enunciato sia falso.
Infatti:
\(\displaystyle f:(0,1) \to (0,1) \), \(\displaystyle f(x)=x^2 \);
\(\displaystyle g:(0,1) \to (0,1) \), \(\displaystyle g(x)=x^2 \);
esse sono continue in \(\displaystyle (0,1) \) e commutano, ma non hanno punti fissi in \(\displaystyle (0,1) \), e non ne ha nemmeno la loro composizione \(\displaystyle f(g(x))=g(f(x))=x^4 \).
Mi sono perso qualcosa?
Risposte
Sicuramente si intende che l'intervallo è chiuso, come hai dimostrato. Un esempio ancora più facile si ottiene prendendo una funzione che non ha punti fissi e l'identità; chiaramente esse commutano ma non possono avere punti fissi in comune, perché la prima funzione punti fissi non ne ha proprio.
Ok thank you.
Ho letto solo “intervallo” ed ho pensato che si stesse facendo riferimento ad un... intervallo. Generico.
Comunque meglio, ho avuto conferma di non aver scritto cose errate, grazie.
Ho letto solo “intervallo” ed ho pensato che si stesse facendo riferimento ad un... intervallo. Generico.
Comunque meglio, ho avuto conferma di non aver scritto cose errate, grazie.
Per domini rappresentati da intervalli chiusi dimostrarlo è banale
Mi correggo, avevo sbagliato a capire la traccia.
Non lo è affatto, ed anzi credo che non sia neanche vero ma non riesco a trovare un controesempio.
Cercando su internet, a supporto della cosa, ho però trovato questo:
https://math.stackexchange.com/question ... nt/2100001
Opinioni?
Ma scusa, se due funzioni commutano hanno gli stessi punti fissi, o no?
EDIT: no scusa è una ca**ata questa.
EDIT: no scusa è una ca**ata questa.
No infatti, puoi solo dire che se \(\displaystyle x_0 \) è p.to fisso di \(\displaystyle f \) allora lo è anche \(\displaystyle g(x_0) \) e viceversa se \(\displaystyle x_1 \) è p.to fisso di \(\displaystyle g \) allora lo è anche \(\displaystyle f(x_1) \).
Dal link che hai postato sembra che non sia vero, addirittura in una edizione più recente lo stesso esercizio diventa di dimostrare che è falso.
Già, ma non riesco a trovare un controesempio, ci sto pensando da un pò ormai...
"dissonance":
Sicuramente si intende che l'intervallo è chiuso, come hai dimostrato.
Perchè solo chiuso?
Due applicazioni che godono della proprietà \(\displaystyle f\circ g = g\circ f \) sono per esempio l'una l'inversa dell'altra e mi restituiscono il medesimo spazio o sottospazio.
Stavo pensando ad un esempio semplice preso dall'algebra lineare. Due matrici l'una l'inversa dell'altra, ergo riproducono tutto $R^n$ (quindi un intervallo aperto) ed hanno un punto comune, l'origine.
Dove sbaglio?
Si, il problema è l'esistenza di punti fissi. Esistono funzioni continue \(f\colon (0, 1)\to (0,1)\) che non hanno punti fissi, per esempio, \(f(x)=x^2\). E questo genera facili controesempi al problema in esame.
A proposito: @Ianero, l'intervallo deve essere pure limitato. Sennò hai il controesempio facile \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\), \(f(x)=x+1\), che non ha punti fissi.
A proposito: @Ianero, l'intervallo deve essere pure limitato. Sennò hai il controesempio facile \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\), \(f(x)=x+1\), che non ha punti fissi.
Perché esistono intervalli chiusi illimitati? 
Davvero 
Con “intervallo chiuso” io intendo un insieme della forma \(\displaystyle [a,b]\subset \mathbb{R} \). Non riesco a immaginare un insieme del genere illimitato, poiché sia $a$ che $b$ sono rispettivamente minimo e massimo.
Beh, $[0,+oo[$.
Che cos’è un intervallo?
Che cos’è un intervallo?
Ah, se \(\displaystyle [0, \infty ) \) è un chiuso, devo rivedere tutti gli esercizi che ho fatto sui chiusi, perché non ho mai valutato questa possibilità.
Per me fino ad oggi era un sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R} \) contenente tutti i reali compresi tra un \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \) e un \(\displaystyle b\in\mathbb{R} \). Poi i vari casi in cui i due estremi sono contenuti entrambi in tale insieme, o solo uno dei due, o nessuno, classificano l'intervallo come chiuso, semichiuso o aperto.
In ogni caso sono andato a riguardare le definizioni che mi da lo Zorich e leggo che nei casi:
\(\displaystyle [a, \infty ) \)
\(\displaystyle (a, \infty ) \)
\(\displaystyle (\infty, b] \)
\(\displaystyle (\infty, b) \)
non si parla proprio di "chiuso" o "aperto", continuando ad intendere per questi ultimi solo intervalli limitati da entrambi i fronti, ma si parla solo di "intervallo illimitato".
Che cos’è un intervallo?
Per me fino ad oggi era un sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R} \) contenente tutti i reali compresi tra un \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \) e un \(\displaystyle b\in\mathbb{R} \). Poi i vari casi in cui i due estremi sono contenuti entrambi in tale insieme, o solo uno dei due, o nessuno, classificano l'intervallo come chiuso, semichiuso o aperto.
In ogni caso sono andato a riguardare le definizioni che mi da lo Zorich e leggo che nei casi:
\(\displaystyle [a, \infty ) \)
\(\displaystyle (a, \infty ) \)
\(\displaystyle (\infty, b] \)
\(\displaystyle (\infty, b) \)
non si parla proprio di "chiuso" o "aperto", continuando ad intendere per questi ultimi solo intervalli limitati da entrambi i fronti, ma si parla solo di "intervallo illimitato".
È solo una questione di terminologia, ma comunque qui il problema non si pone, se l'intervallo non è limitato l'enunciato è falso. (Mi riferisco al problema del primo post, quello dei punti fissi delle funzioni che commutano).
"dissonance":
È solo una questione di terminologia...
Sì senza dubbio, chissà se Zorich quando parla di chiusi vuole intendere anche intervalli come \(\displaystyle [0,\infty ) \).
Perché anche in molti altri esercizi si ritrova lo stesso termine.
Tornando IT, ho letto nel post di math.SE che l'enunciato di questo esercizio cambia completamente da una edizione all'altra. Sai se è vero?
Perché se così fosse, visto anche il precedente dell'altro esercizio totalmente sbagliato, possiamo tranquillamente smettere di pensarci.
Perché se così fosse, visto anche il precedente dell'altro esercizio totalmente sbagliato, possiamo tranquillamente smettere di pensarci.
"Ianero":
Ah, se \(\displaystyle [0, \infty ) \) è un chiuso, devo rivedere tutti gli esercizi che ho fatto sui chiusi, perché non ho mai valutato questa possibilità.
Che cos’è un intervallo?
Per me fino ad oggi era un sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R} \) contenente tutti i reali compresi tra un \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \) e un \(\displaystyle b\in\mathbb{R} \).
Il che può andar bene, a patto, però di sostituire $a,b in RR$ con $a,b in hat(RR)$.
Per dare una definizione basata su proprietà topologiche, un intervallo di $RR$ è un insieme $I subset RR$ tale che:
\[
x_1 < x_2 \in I \quad \Rightarrow \quad \forall x_1
"Ianero":
Poi i vari casi in cui i due estremi sono contenuti entrambi in tale insieme, o solo uno dei due, o nessuno, classificano l'intervallo come chiuso, semichiuso o aperto.
Sì, ok. Ma che vuol dire “chiuso”?
A parte la definizione, un intervallo chiuso si chiama così perché ha anche importanti proprietà che lo identificano come sottoinsieme chiuso di $RR$.
Quindi, cos’è un sottoinsieme chiuso?
"Ianero":
In ogni caso sono andato a riguardare le definizioni che mi da lo Zorich e leggo che nei casi:
\(\displaystyle [a, \infty ) \)
\(\displaystyle (a, \infty ) \)
\(\displaystyle (\infty, b] \)
\(\displaystyle (\infty, b) \)
non si parla proprio di "chiuso" o "aperto", continuando ad intendere per questi ultimi solo intervalli limitati da entrambi i fronti, ma si parla solo di "intervallo illimitato".
Non mi pare possibile... Prendi un libro serio.
"dissonance":
ho letto nel post di math.SE che l'enunciato di questo esercizio cambia completamente da una edizione all'altra. Sai se è vero?
Purtroppo non ho l'edizione nuova.
"dissonance":
visto anche il precedente dell'altro esercizio totalmente sbagliato
"gugo82":
Quindi, cos’è un sottoinsieme chiuso?
Non credo di aver incontrato nel libro, fino ad ora, una trattazione topologica come credo tu la stia intendendo. Lo sto seguendo meticolosamente.
"gugo82":
Non mi pare possibile... Prendi un libro serio.
Lo Zorich non è serio?
Io l'ho preso proprio per imparare l'analisi "per bene", perché non ho studiato matematica all'università.
Ad ogni modo, ecco:
Ma prenditi il Pagani-Salsa, l’Acerbi-Buttazzo o il baby-Rudin.
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