Continuità e misura di lebesgue
Salve ragazzi,ho un problema con questo esercizio. Dato un insieme $E\subseteq \mathbb{R}^n$ limitato e misurabile secondo Lebesgue e fissato $i\in\{1,2...n\}$ provare che
$\psi: t\in \mathbb{R} \rightarrow |{x\in E: x_{i}
è continua.
Faccio osservare che con |.| ho denotato la misura di Lebesgue e con $x_{i}$ la componente i-esima di $x$.
La proprietà è molto intuitiva ma non riesco a formalizzare il tutto.
Prima cosa: $\psi$ è ben definita in quanto, l'insieme di cui si calcola la misura è effettivamente misurabile secondo lebesgue. Infatti, detta $P_{i}$ la proiezione lungo la direzione i-esima, la funzione $\psi$ misura questo insieme ${x\in E: P_{i}(x)
Ora, arrivando al nocciolo della questione, avevo pensato di procedere provando la continuità per successioni. Supponiamo che ${t_n}$ sia una qualsiasi successione che tende a $t$, voglio provare che $\psi(t_n)$ tende a $\psi(t)$. A partire dalla generica successione {t_n} posso estrarne un'altra o tutta sopra t o tutta sotto t. Se per esempio costruisco una sottosuccessione ${t_{n_k}}$ tale che ciascuno dei $t_{n_k}$ è minore di $t$, ho una successione di insiemi ${x\in E: x_{i}
Se ${An}$ è una successione crescente di insiemi,$\lim_{n\rightarrowinfty}|A_n|= |\cup_{n} A_n|$,
ottenendo nel mio caso
$\lim_{k\rightarrowinfty} \psi(t_{n_k})= \psi(t)$
Con tale ragionamento però, provo solo la convergenza di una estratta della successione iniziale, dovrei pure provare poi che la successione $\psi(t_n)$ è di Cauchy.
Secondo voi è la strada giusta da seguire o le feste di natale mi hanno rincretinita e c'è un'altra via più semplice?
$\psi: t\in \mathbb{R} \rightarrow |{x\in E: x_{i}
è continua.
Faccio osservare che con |.| ho denotato la misura di Lebesgue e con $x_{i}$ la componente i-esima di $x$.
La proprietà è molto intuitiva ma non riesco a formalizzare il tutto.
Prima cosa: $\psi$ è ben definita in quanto, l'insieme di cui si calcola la misura è effettivamente misurabile secondo lebesgue. Infatti, detta $P_{i}$ la proiezione lungo la direzione i-esima, la funzione $\psi$ misura questo insieme ${x\in E: P_{i}(x)
Ora, arrivando al nocciolo della questione, avevo pensato di procedere provando la continuità per successioni. Supponiamo che ${t_n}$ sia una qualsiasi successione che tende a $t$, voglio provare che $\psi(t_n)$ tende a $\psi(t)$. A partire dalla generica successione {t_n} posso estrarne un'altra o tutta sopra t o tutta sotto t. Se per esempio costruisco una sottosuccessione ${t_{n_k}}$ tale che ciascuno dei $t_{n_k}$ è minore di $t$, ho una successione di insiemi ${x\in E: x_{i}
Se ${An}$ è una successione crescente di insiemi,$\lim_{n\rightarrowinfty}|A_n|= |\cup_{n} A_n|$,
ottenendo nel mio caso
$\lim_{k\rightarrowinfty} \psi(t_{n_k})= \psi(t)$
Con tale ragionamento però, provo solo la convergenza di una estratta della successione iniziale, dovrei pure provare poi che la successione $\psi(t_n)$ è di Cauchy.
Secondo voi è la strada giusta da seguire o le feste di natale mi hanno rincretinita e c'è un'altra via più semplice?
Risposte
please, qualcuno può darmi qualche dritta? 
Il ragionamento che fai è sostanzialmente corretto.
Nel limite definito tramite successioni ti basta considerare successioni crescenti e decrescenti convergenti a t. Infatti se una funzione fallisce la condizione di limite definita tramite $varepsilon - delta$, esiste una successione $t_n$ tale che $psi(t_n)$ è lontana da $psi(t)$. Ti basta poi estrarre da $t_n$ una sottosuccessione monotona. (La successione non posso dire a priori se è crescente o decrescente ma almeno una delle due c'è; da quello che scrivi te, quando estrai la sottosuccessione, dici che la puoi scegliere crescente o decrescente ma ciò non è vero: devono esserci infiniti indici o tutti sopra o tutti sotto, ma non è detto ce ne siano infiniti da entrambi le parti).
Alternativamente, come dici, puoi far vedere che $psi(t_n)$ è Cauchy. Non è difficile.
A questo punto ti manca da formalizzare bene il tutto.
C'è poi un'altra questione: dove viene usata l'ipotesi di limitatezza di E? È necessaria?
Nel limite definito tramite successioni ti basta considerare successioni crescenti e decrescenti convergenti a t. Infatti se una funzione fallisce la condizione di limite definita tramite $varepsilon - delta$, esiste una successione $t_n$ tale che $psi(t_n)$ è lontana da $psi(t)$. Ti basta poi estrarre da $t_n$ una sottosuccessione monotona. (La successione non posso dire a priori se è crescente o decrescente ma almeno una delle due c'è; da quello che scrivi te, quando estrai la sottosuccessione, dici che la puoi scegliere crescente o decrescente ma ciò non è vero: devono esserci infiniti indici o tutti sopra o tutti sotto, ma non è detto ce ne siano infiniti da entrambi le parti).
Alternativamente, come dici, puoi far vedere che $psi(t_n)$ è Cauchy. Non è difficile.
A questo punto ti manca da formalizzare bene il tutto.
C'è poi un'altra questione: dove viene usata l'ipotesi di limitatezza di E? È necessaria?
Ciao!
Innanzitutto, grazie per aver risposto, ormai non ci speravo proprio più!
OK! tutto chiaro
Sì certo, sono d'accordo con te! In effetti, rileggendomi, ho notato che quel '' se per esempio costruisco...'' lasciava intendere questa cosa (ovviamente sbagliata)
A mia discolpa, posso dire che ero partita con il piede giusto :
Beh, non sono proprio sicura che serva. In realtà, l'esercizio non era formulato proprio in questi termini. All'interno di una dimostrazione di un teorema, il mio testo di calcolo delle variazioni (e pure la prof) lasciava allo ''studioso lettore'' il compito di provare che:
Preso il misurabile $E$ con cui si lavorava all'interno del teorema (e che era limitato per hp) e fissato $\lambda$ reale positivo minore di $|E|$, è possibile spaccare il misurabile in due parti di modo che una abbia misura esattamente $\lambda$.
Per provare ciò, ho pensato di definire la funzione $\psi$,e di dimostrare che fosse continua (così subito riesco a concludere). Ma, essendo un' idea e non sapendo se fosse un teorema generale, ho posto il quesito nelle ipotesi del teorema ''grande'' (in effetti mi serve che l'asserto valga solo in quel caso per l'uso che ne devo fare ) Grazie ancora!!!
Innanzitutto, grazie per aver risposto, ormai non ci speravo proprio più!
"DajeForte":
Nel limite definito tramite successioni ti basta considerare successioni crescenti e decrescenti convergenti a t. Infatti se una funzione fallisce la condizione di limite definita tramite $ varepsilon - delta $, esiste una successione $ t_n $ tale che $ psi(t_n) $ è lontana da $ psi(t) $. Ti basta poi estrarre da $ t_n $ una sottosuccessione monotona.
OK! tutto chiaro
"DajeForte":
(La successione non posso dire a priori se è crescente o decrescente ma almeno una delle due c'è; da quello che scrivi te, quando estrai la sottosuccessione, dici che la puoi scegliere crescente o decrescente ma ciò non è vero: devono esserci infiniti indici o tutti sopra o tutti sotto, ma non è detto ce ne siano infiniti da entrambi le parti).
Sì certo, sono d'accordo con te! In effetti, rileggendomi, ho notato che quel '' se per esempio costruisco...'' lasciava intendere questa cosa (ovviamente sbagliata)
A mia discolpa, posso dire che ero partita con il piede giusto :"sunset":
A partire dalla generica successione {t_n} posso estrarne un'altra o tutta sopra t o tutta sotto t.
"DajeForte":
C'è poi un'altra questione: dove viene usata l'ipotesi di limitatezza di E? È necessaria?
Beh, non sono proprio sicura che serva. In realtà, l'esercizio non era formulato proprio in questi termini. All'interno di una dimostrazione di un teorema, il mio testo di calcolo delle variazioni (e pure la prof) lasciava allo ''studioso lettore'' il compito di provare che:
Preso il misurabile $E$ con cui si lavorava all'interno del teorema (e che era limitato per hp) e fissato $\lambda$ reale positivo minore di $|E|$, è possibile spaccare il misurabile in due parti di modo che una abbia misura esattamente $\lambda$.
Per provare ciò, ho pensato di definire la funzione $\psi$,e di dimostrare che fosse continua (così subito riesco a concludere). Ma, essendo un' idea e non sapendo se fosse un teorema generale, ho posto il quesito nelle ipotesi del teorema ''grande'' (in effetti mi serve che l'asserto valga solo in quel caso per l'uso che ne devo fare )
Grazie ancora!!!
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