Continuità e limiti della derivata
Buonasera a tutti!
stavo riguardando gli appunti del prof di analisi riguardo alla derivabilità e alla continuità (sto studiando le conseguenze del teorema di Lagrange) e mi sono imbattuta in questa asserzione:
"L'esistenza del limite finito di f'(x) è condizione sufficiente, ma non necessaria, perchè f sia derivabile in x=c. Infatti l'esistenza del limite è uguale al fatto che f' sia continua in x=c."
Qualcuno può gentilmente spiegarmi cosa significa? Ve ne sarei davvero grata, siccome a breve ho l'esame di analisi!
stavo riguardando gli appunti del prof di analisi riguardo alla derivabilità e alla continuità (sto studiando le conseguenze del teorema di Lagrange) e mi sono imbattuta in questa asserzione:
"L'esistenza del limite finito di f'(x) è condizione sufficiente, ma non necessaria, perchè f sia derivabile in x=c. Infatti l'esistenza del limite è uguale al fatto che f' sia continua in x=c."
Qualcuno può gentilmente spiegarmi cosa significa? Ve ne sarei davvero grata, siccome a breve ho l'esame di analisi!
Risposte
È equivalente al dire che se $f$ è derivabile in un certo $x_0$ allora è continua in $x_0$
Sia $f:A->RR$ una funzione definita su $A$ e sia un certo $x_0inA$(dove $AsubseteqRR$) di accumulazione per $A$. se $f$ è derivabile in $x_0$ allora è continua in $x_0$
di fatto sai che esiste $f'(x_0)inRR: lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$
Per $xnex_0$ considero l'identità,
$f(x)-(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)(x-x_0)=f(x_0), forallx inA-{x_0}$
Passando a limite i due membri otteniamo proprio che,
$lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
Note: nel passaggio al limite usiamo le proprietà di somma e prodotto di limiti, dove in questo caso abbiamo che il limite del rapporto incrementale è finito, per ipotesi. Il limite di $x-x_0$ è ovviamente finito e ci torna l'uguaglianza che ci da la tesi.
Naturalmente il significato geometrico è abbastanza profondo.
Sia $f:A->RR$ una funzione definita su $A$ e sia un certo $x_0inA$(dove $AsubseteqRR$) di accumulazione per $A$. se $f$ è derivabile in $x_0$ allora è continua in $x_0$
di fatto sai che esiste $f'(x_0)inRR: lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$
Per $xnex_0$ considero l'identità,
$f(x)-(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)(x-x_0)=f(x_0), forallx inA-{x_0}$
Passando a limite i due membri otteniamo proprio che,
$lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
Note: nel passaggio al limite usiamo le proprietà di somma e prodotto di limiti, dove in questo caso abbiamo che il limite del rapporto incrementale è finito, per ipotesi. Il limite di $x-x_0$ è ovviamente finito e ci torna l'uguaglianza che ci da la tesi.
Naturalmente il significato geometrico è abbastanza profondo.
Grazie della risposta! La cosa che mi confondeva è che lui abbia scritto che il fatto che f' sia continua in c è condizione sufficiente ma non necessaria perché f sia derivabile in c. Ma non è il contrario, che la continuità debba essere condizione necessaria, ma non sufficiente, per la derivabilità?
"AnnalisaAnnie":
Grazie della risposta! La cosa che mi confondeva è che lui abbia scritto che il fatto che f' sia continua in c è condizione sufficiente ma non necessaria perché f sia derivabile in c. Ma non è il contrario, che la continuità debba essere condizione necessaria, ma non sufficiente, per la derivabilità?
La continuità della $f$ è condizione necessaria perché $f$ sia derivabile e su questo non ci piove. Però tu fai riferimento alla continuità di $f'$...
Il nodo della questione mi sembra un altro. Provo a segnalarti questo thread: in sostanza il teorema che è qui riportato non si "inverte".
"Seneca":
[quote="AnnalisaAnnie"]Grazie della risposta! La cosa che mi confondeva è che lui abbia scritto che il fatto che f' sia continua in c è condizione sufficiente ma non necessaria perché f sia derivabile in c. Ma non è il contrario, che la continuità debba essere condizione necessaria, ma non sufficiente, per la derivabilità?
La continuità della $f$ è condizione necessaria perché $f$ sia derivabile e su questo non ci piove. Però tu fai riferimento alla continuità di $f'$...
Il nodo della questione mi sembra un altro. Provo a segnalarti questo thread: in sostanza il teorema che è qui riportato non si "inverte".[/quote]
Quindi se ho la derivata di f le condizioni di continuità e derivabilità si invertono?
Io ho capito che se esiste finito il limite della derivata di f per x che tende al punto c allora la derivata di f è continua in quel punto, ma questa è anche condizione sufficiente (e non necessaria) perché la funzione sia derivabile in quel punto c. Ma ancora mi confondo..
Probabilmente non mi sono spiegato bene.
Considera la seguente situazione. Abbiamo una funzione $f : (-1,2) \to RR$ continua (è definita e continua in tutti i punti dell'intervallo $(-1,2)$). Supponiamo in più che $f$ sia derivabile in $(-1,0) \cup (0,2)$ (cioè è derivabile in tutti i punti dell'intervallo $(-1,2)$ eccetto che nel punto $t = 0$).
Allora il teorema che trovi qui viewtopic.php?p=257623#p257623 ti dice che se esiste finito il limite della derivata prima $f'$ nel punto $t = 0$ allora la funzione $f$ risulta derivabile anche nel punto $t = 0$.
Quindi l'esistenza finita del limite della derivata, nella situazione che ti ho indicato, è condizione sufficiente per la derivabilità. Tuttavia esistono funzioni che sono derivabili in un punto ma per le quali il limite della derivata non esiste; questi controesempi mostrano come il viceversa del teorema presente qui non vale.
Ne è un esempio classico la seguente:
$f(x)={(x^2sin(1/x), if x!=0),(0,if x=0):}$
Considera la seguente situazione. Abbiamo una funzione $f : (-1,2) \to RR$ continua (è definita e continua in tutti i punti dell'intervallo $(-1,2)$). Supponiamo in più che $f$ sia derivabile in $(-1,0) \cup (0,2)$ (cioè è derivabile in tutti i punti dell'intervallo $(-1,2)$ eccetto che nel punto $t = 0$).
Allora il teorema che trovi qui viewtopic.php?p=257623#p257623 ti dice che se esiste finito il limite della derivata prima $f'$ nel punto $t = 0$ allora la funzione $f$ risulta derivabile anche nel punto $t = 0$.
Quindi l'esistenza finita del limite della derivata, nella situazione che ti ho indicato, è condizione sufficiente per la derivabilità. Tuttavia esistono funzioni che sono derivabili in un punto ma per le quali il limite della derivata non esiste; questi controesempi mostrano come il viceversa del teorema presente qui non vale.
Ne è un esempio classico la seguente:
$f(x)={(x^2sin(1/x), if x!=0),(0,if x=0):}$
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