Continuità e gradiente in due variabili
Data la funzione
$ { ( f(x,y)=\frac{|x|^3*|y|^(5/2)}{|x|^4 +|y|^3} se f(x,y) \ne0 ),( f(x,y) = 0 se f(x,y)=0 ):} $
Viene chiesto di:
a) studiare continuità, derivabilità, differenziabilità in (0,0).
b) Dire se, per v $ \underline{v}\in R^2:|\underline{v}| =1, $ vale la formula del gradiente
$ (\partial f)/ (\partial v)(0,0) =<\nabla f(0,0), \underline{v}> $
Allora, per la continuità
$ 0\leq \frac{|x|^3*|y|^(5/2)}{|x|^4 +|y|^3} = |y|^(5/2) * \frac{|x|^3}{|x|^4 +|y|^3} \leq |y|^(5/2) \rightarrow 0 $
e quindi la funzione è continua in (0,0).
Ma nell'ultimo passaggio ho usato che $ \frac{|x|^3}{|x|^4 +|y|^3} \leq 1 $ E' vero questo?
Cioè se x^3 fratto x^4 è sicuramente minore, o "al massimo" = 1, allora se il denominatore è maggiorato ancora di un termine positivo sarà comunque minore o uguale di 1.
Mi pare strano come metodo. Devo sbagliare qualcosa.
Per derivabilità e differenziabilità applico la definizione. E nel punto b) non ho ben capito cosa chiede.
$ { ( f(x,y)=\frac{|x|^3*|y|^(5/2)}{|x|^4 +|y|^3} se f(x,y) \ne0 ),( f(x,y) = 0 se f(x,y)=0 ):} $
Viene chiesto di:
a) studiare continuità, derivabilità, differenziabilità in (0,0).
b) Dire se, per v $ \underline{v}\in R^2:|\underline{v}| =1, $ vale la formula del gradiente
$ (\partial f)/ (\partial v)(0,0) =<\nabla f(0,0), \underline{v}> $
Allora, per la continuità
$ 0\leq \frac{|x|^3*|y|^(5/2)}{|x|^4 +|y|^3} = |y|^(5/2) * \frac{|x|^3}{|x|^4 +|y|^3} \leq |y|^(5/2) \rightarrow 0 $
e quindi la funzione è continua in (0,0).
Ma nell'ultimo passaggio ho usato che $ \frac{|x|^3}{|x|^4 +|y|^3} \leq 1 $ E' vero questo?
Cioè se x^3 fratto x^4 è sicuramente minore, o "al massimo" = 1, allora se il denominatore è maggiorato ancora di un termine positivo sarà comunque minore o uguale di 1.
Mi pare strano come metodo. Devo sbagliare qualcosa.
Per derivabilità e differenziabilità applico la definizione. E nel punto b) non ho ben capito cosa chiede.
Risposte
Consiglio: se passassi in coordinate polari, avresti una $\rho$ che, in quanto sempre positiva, non avrebbe valore assoluto. Rimane un problema a denominatore, ma lo puoi eliminare con alcune osservazioni sulle direzioni "problematiche"...
P.S. la tua disuguaglianza non vale. Per $(\frac{1}{10},0)$ ad esempio non è verificata.
P.S. la tua disuguaglianza non vale. Per $(\frac{1}{10},0)$ ad esempio non è verificata.
Innanzi tutto grazie della risposta. Poi..
Per la disuguaglianza hai perfettamente ragione, sono stato un pollo.
Ma già avevo provato anche in coordinate polari. $ (rho ^(5/2)* |cos^3Theta|*|sin^3Theta |)/(rho |cos^4Theta| + |sin^3Theta| $ Una volta arrivato qua come procedo?
Per la disuguaglianza hai perfettamente ragione, sono stato un pollo.
Ma già avevo provato anche in coordinate polari. $ (rho ^(5/2)* |cos^3Theta|*|sin^3Theta |)/(rho |cos^4Theta| + |sin^3Theta| $ Una volta arrivato qua come procedo?
Arrivato qui hai due casi:
- $\sin(\theta)\ne0$
- $\sin(\theta)=0$
Nel primo caso la continuità è banalmente verificata.
Il secondo caso individua due direzioni, le direzioni in cui $\theta$ è uguale a $0$ o uguale a $\pi$. Queste, in equazione cartesiana, identificano la retta $y=0$. Ma lungo questa retta vedi subito che la continuità è verificata, il numeratore si annulla per qualunque valore di $x$.
EDIT: corretto, grazie!
- $\sin(\theta)\ne0$
- $\sin(\theta)=0$
Nel primo caso la continuità è banalmente verificata.
Il secondo caso individua due direzioni, le direzioni in cui $\theta$ è uguale a $0$ o uguale a $\pi$. Queste, in equazione cartesiana, identificano la retta $y=0$. Ma lungo questa retta vedi subito che la continuità è verificata, il numeratore si annulla per qualunque valore di $x$.
EDIT: corretto, grazie!
Il primo caso non mi è chiaro. Nel secondo, in cartesiane, volevi scrivere che il numeratore si annulla per qualunque x? Se intendi proprio il denominatore, allora nemmeno questo caso mi è chiaro. Mi scrivi i passaggi per favore?
Scusa, intendevo il numeratore, è un typo 
Per il primo caso: a denominatore avrai $|\sin^3(\theta)|$ non nullo, mentre il numeratore e l'altro "pezzo" di denominatore sono portati a zero dalla $\rho$. Alla fine, per $\rho$ che tende a $0$ ti ritrovi ad avere $\frac{0}{0+|\sin^3(\theta)|}$, che fa $0$ per le considerazioni fatte prima su $\theta$
Per il primo caso: a denominatore avrai $|\sin^3(\theta)|$ non nullo, mentre il numeratore e l'altro "pezzo" di denominatore sono portati a zero dalla $\rho$. Alla fine, per $\rho$ che tende a $0$ ti ritrovi ad avere $\frac{0}{0+|\sin^3(\theta)|}$, che fa $0$ per le considerazioni fatte prima su $\theta$
Ok. Perfetto. Era davvero banale il primo caso. Un ultimo dubbio. Nel secondo caso passo al limite per (x,y) --> (x,0) e ottengo $ 0/|x^4| $ giusto? Viene 0 per qualunque x. Ma se anche x = 0? Non mi interessa considerare questa opzione?
No scusa, mi dai la soluzione anche del punto b?
No scusa, mi dai la soluzione anche del punto b?
"coniglio2014":
Ok. Perfetto. Era davvero banale il primo caso. Un ultimo dubbio. Nel secondo caso passo al limite per (x,y) --> (x,0) e ottengo $ 0/|x^4| $ giusto? Viene 0 per qualunque x. Ma se anche x = 0? Non mi interessa considerare questa opzione?
No scusa, mi dai la soluzione anche del punto b?
Nel secondo caso consideri la restrizione della funzione sulla retta $y=0$.
Su quella retta la tua funzione si scrive così: $ (|x|^3*0)/(|x|^4+0) =0/|x|^4$ che è costantemente uguale a $0$. Questo è un limite nella sola variabile $x$, dovresti saperlo calcolare benissimo...
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