Continuità e differenzibilità
Buongiorno a tutti,
purtroppo essendo fallibili spesso si ha bisogno di conferme, specialmente quando bisogna andare contro l'opinione di Wolfram alpha...
c'è da valutare la continuità e la differenziabilità nell'origine di
$$
f(x,y)=\begin{cases}\frac{(1-\cos\sqrt[3]{xy})*\ln(1+|xy|)}{x^2+xy+y^2} \, & , \, (x,y)\ne (0,0) \\ 0 \, & , \, (x,y)=(0,0)\end{cases}
$$
sfruttando le relazioni asintotiche
$$
1-\cos\sqrt[3]{xy} \approx \frac{(xy)^{\frac{2}{3}}}{2}
\\
\ln(1+|xy|)\approx |xy|
$$
arrivo a stimare che
$$
\frac{(1-\cos\sqrt[3]{xy})*\ln(1+|xy|)}{x^2+xy+y^2} \approx \frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2(x^2+xy+y^2)}
$$
poi maggiorando come segue
$$
\frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2(x^2+xy+y^2)} \leq \frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2xy}=\frac{(xy)^{\frac{2}{3}}}{2} \to 0
$$
quindi concludo la continuità.
A questo punto visto che il gradiente è nullo ho da studiare un limite del tutto analogo per dimostrare la differenziabilità e mi ritrovo alla fine con
$$
\frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2xy\sqrt{x^2+y^2}}
$$
poco male, sfrutto la maggiorazione $\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{2xy}$ ottenendo
$$
\frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2xy\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2xy\sqrt{2xy}}=\frac{(xy)^{\frac{1}{6}}}{2\sqrt{2}}\to 0
$$
Ora visto che non ho le soluzioni, facendo un check su Wolfram alpha, mi esce che il primo limite o non esiste o non è valutabile da Wolfram , mentre il secondo limite sicuramente non esiste (sempre secondo Wolfram)...
Ora potrei concludere superbamente dicendo che Wolfram è solo una stupida macchina in confronto a me, tuttavia vorrei una conferma da parte vostra sul procedimento e sulle soluzioni.
Grazie per il vostro tempo.
purtroppo essendo fallibili spesso si ha bisogno di conferme, specialmente quando bisogna andare contro l'opinione di Wolfram alpha...
c'è da valutare la continuità e la differenziabilità nell'origine di
$$
f(x,y)=\begin{cases}\frac{(1-\cos\sqrt[3]{xy})*\ln(1+|xy|)}{x^2+xy+y^2} \, & , \, (x,y)\ne (0,0) \\ 0 \, & , \, (x,y)=(0,0)\end{cases}
$$
sfruttando le relazioni asintotiche
$$
1-\cos\sqrt[3]{xy} \approx \frac{(xy)^{\frac{2}{3}}}{2}
\\
\ln(1+|xy|)\approx |xy|
$$
arrivo a stimare che
$$
\frac{(1-\cos\sqrt[3]{xy})*\ln(1+|xy|)}{x^2+xy+y^2} \approx \frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2(x^2+xy+y^2)}
$$
poi maggiorando come segue
$$
\frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2(x^2+xy+y^2)} \leq \frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2xy}=\frac{(xy)^{\frac{2}{3}}}{2} \to 0
$$
quindi concludo la continuità.
A questo punto visto che il gradiente è nullo ho da studiare un limite del tutto analogo per dimostrare la differenziabilità e mi ritrovo alla fine con
$$
\frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2xy\sqrt{x^2+y^2}}
$$
poco male, sfrutto la maggiorazione $\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{2xy}$ ottenendo
$$
\frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2xy\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{|xy|^{\frac{5}{3}}}{2xy\sqrt{2xy}}=\frac{(xy)^{\frac{1}{6}}}{2\sqrt{2}}\to 0
$$
Ora visto che non ho le soluzioni, facendo un check su Wolfram alpha, mi esce che il primo limite o non esiste o non è valutabile da Wolfram , mentre il secondo limite sicuramente non esiste (sempre secondo Wolfram)...
Ora potrei concludere superbamente dicendo che Wolfram è solo una stupida macchina in confronto a me, tuttavia vorrei una conferma da parte vostra sul procedimento e sulle soluzioni.
Grazie per il vostro tempo.
Risposte
In effetti c'è un errore, ed è in questa disuguaglianza che tu hai implicitamente usato:
\[
\frac{1}{x^2+y^2+xy} \le \frac{1}{xy},\]
e che è falsa: provala con \(x=1, y=-1\). Il tuo ragionamento è stato di partire dalla disuguaglianza (corretta)
\[
x^2+y^2+xy \ge xy, \]
e poi di invertire ambo i membri, ma questo è corretto solo se ambo i membri sono positivi, oppure se ambo i membri sono negativi.
\[
\frac{1}{x^2+y^2+xy} \le \frac{1}{xy},\]
e che è falsa: provala con \(x=1, y=-1\). Il tuo ragionamento è stato di partire dalla disuguaglianza (corretta)
\[
x^2+y^2+xy \ge xy, \]
e poi di invertire ambo i membri, ma questo è corretto solo se ambo i membri sono positivi, oppure se ambo i membri sono negativi.
Grazie, in effetti non ci avevo prestato attenzione, ma in fondo è lo stesso perché visto che devo dimostrare che il limite è nullo, allora posso studiare il limite del modulo e quindi mi ritroverei ad utilizzare questa disuguaglianza :
$$
\frac{1}{|x^2+y^2+xy|}\leq \frac{1}{|xy|}
$$
che non presenta questa patologia e mi porta a concludere comunque che il limite è zero, no?
$$
\frac{1}{|x^2+y^2+xy|}\leq \frac{1}{|xy|}
$$
che non presenta questa patologia e mi porta a concludere comunque che il limite è zero, no?
"Bossmer":
Grazie, in effetti non ci avevo prestato attenzione, ma in fondo è lo stesso perché visto che devo dimostrare che il limite è nullo, allora posso studiare il limite del modulo e quindi mi ritroverei ad utilizzare questa disuguaglianza :
$$
\frac{1}{|x^2+y^2+xy|}\leq \frac{1}{|xy|}
$$
Si. Ma quella disuguaglianza (che è vera) la devi dimostrare, non è ovvia.
Ma no scusa è ovvia, perché il primo modulo è superfluo, visto che se $xy>0$ l'argomento del primo modulo è chiaramente positivo, mentre se $xy<0$ c'è da vedere quando
$$
x^2+y^2+xy>0
$$
ma questa è sempre vera infatti basta riscriverla così:
$$
x^2+y^2+xy=x^2+y^2+2xy-xy=(x+y)^2-xy>0
$$
ed è sempre maggiore di zero perché il quadrato è sempre positivo, e $xy<0$ quindi $-xy>0$ .
quindi l'argomento del primo modulo è sempre positivo, quindi il modulo non serve, quindi possiamo riscriverla come
$$
x^2+y^2+xy\ge |xy|
$$
ora si verifica velocemente che questa è vera infatti se $xy>0$ otteniamo $x^2+y^2\ge 0$ che è chiaramente vero, se $xy<0$ otteniamo
$$
x^2+y^2+2xy\ge 0
$$
ma questo è il quadrato del binomio che è chiaramente maggiore di zero.
Ora a parte dimostrare questa disuguaglianza, io non vero errori nel mio procedimento iniziale ... quindi wolfram sbaglia o ci sta sfuggendo qualcosa d'altro?
$$
x^2+y^2+xy>0
$$
ma questa è sempre vera infatti basta riscriverla così:
$$
x^2+y^2+xy=x^2+y^2+2xy-xy=(x+y)^2-xy>0
$$
ed è sempre maggiore di zero perché il quadrato è sempre positivo, e $xy<0$ quindi $-xy>0$ .
quindi l'argomento del primo modulo è sempre positivo, quindi il modulo non serve, quindi possiamo riscriverla come
$$
x^2+y^2+xy\ge |xy|
$$
ora si verifica velocemente che questa è vera infatti se $xy>0$ otteniamo $x^2+y^2\ge 0$ che è chiaramente vero, se $xy<0$ otteniamo
$$
x^2+y^2+2xy\ge 0
$$
ma questo è il quadrato del binomio che è chiaramente maggiore di zero.
Ora a parte dimostrare questa disuguaglianza, io non vero errori nel mio procedimento iniziale ... quindi wolfram sbaglia o ci sta sfuggendo qualcosa d'altro?
"Bossmer":
Ma no scusa è ovvia, perché il primo modulo è superfluo, visto che se $xy>0$ l'argomento del primo modulo è chiaramente positivo, mentre se $xy<0$ c'è da vedere quando
$$
x^2+y^2+xy>0
$$
In realtà è ancora più facile: se $xy<0$ allora bisogna dimostrare che
\[
x^2+y^2+2xy\ge 0\]
ed è il quadrato di un binomio.
Io penso che il tuo svolgimento sia corretto e non mi preoccuperei troppo di wolfram alpha. Questi software di calcolo simbolico non vanno molto bene per calcolare limiti, perché calcolare un limite non è una operazione meccanica.
Per verificare il risultato di un limite, io piuttosto farei disegnare un plot della funzione in questione e vedrei a occhio se il limite è quello che mi aspetto o no.
"dissonance":
In realtà è ancora più facile: se $xy<0$ allora bisogna dimostrare che
\[
x^2+y^2+2xy\ge 0\]
ed è il quadrato di un binomio.
è esattamente quello che ho scritto anch'io...
Beh questo mi può aiutare più o meno, per funzioni che hanno singolarità evidenti, ma per funzioni che non hanno queste evidenti singolarità?
Caso per caso ti inventi qualcosa.
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