Continuità e differenziabilità funzione in due variabili
Salve a tutti, mi trovo per la prima volta alle prese con una funzione definita a tratti di questo tipo ; poichè fino ad ora avevo avuto a che fare soltanto con funzioni definite in un modo ovunque tranne al più in un singolo punto.
$ f(x,y)={ ( x+y ifx>0 ),( x+ye^{-x^2} if x<=0 ):} $ e devo Studiare continuità e differenziabilità. Io ho proceduto nel seguente modo. Ovviamente sui due rami singoli entrambe le funzioni sono continue e differenziabili. Il problema sorge nei punti del tipo $ (0,l) $ .
$ f(0,l)=l $ , $ lim _{(x,y) rarr(0^+,l)}=l $ ,
$ lim _{(x,y) rarr(0^-,l)}=l $ e fin qui tutto bene, la funzione dovrebbe essere continua ovunque.
Allo stesso modo ho calcolato le derivate parziali rispetto a x ( sia da destra che da sinistra ottenendo lo stesso valore ) e la derivata parziale rispetto a y ( ne ho calcolata una sola non avendo limitazioni a tratti lungo y) ottenendo :
$ {partialf(0,l) }/{partialx}=1, {partialf(0,l) }/{partialy}=1 $ . Ora però non so come affrontare la definizione classica di differenziabilità. Basta che la esegua su entrambi i tratti della funzione per verificare la sua veridicità? é corretto il modo in cui ho proceduto fin'ora? Vi prego aiutatemi, l'esame è alle porte
$ f(x,y)={ ( x+y ifx>0 ),( x+ye^{-x^2} if x<=0 ):} $ e devo Studiare continuità e differenziabilità. Io ho proceduto nel seguente modo. Ovviamente sui due rami singoli entrambe le funzioni sono continue e differenziabili. Il problema sorge nei punti del tipo $ (0,l) $ .
$ f(0,l)=l $ , $ lim _{(x,y) rarr(0^+,l)}=l $ ,
$ lim _{(x,y) rarr(0^-,l)}=l $ e fin qui tutto bene, la funzione dovrebbe essere continua ovunque.
Allo stesso modo ho calcolato le derivate parziali rispetto a x ( sia da destra che da sinistra ottenendo lo stesso valore ) e la derivata parziale rispetto a y ( ne ho calcolata una sola non avendo limitazioni a tratti lungo y) ottenendo :
$ {partialf(0,l) }/{partialx}=1, {partialf(0,l) }/{partialy}=1 $ . Ora però non so come affrontare la definizione classica di differenziabilità. Basta che la esegua su entrambi i tratti della funzione per verificare la sua veridicità? é corretto il modo in cui ho proceduto fin'ora? Vi prego aiutatemi, l'esame è alle porte
Risposte
Se volessi applicare , ad esempio, il teorema del differenziale , mi basterebbe verificare che le derivate parziali sono continue nel punto. Ciò che non capisco è come poter applicare la definizione di differenziabilità :
$ lim_{(h,k)rarr(0,0)}{ f(0+h,l+k)-f(0,l)-f_x (0,l)h-f_y(0,l)k}/sqrt{h^2+k^2 } =0$ . MI basta guardare i due casi e, se in entrambi i casi la relazione è soddisfatta posso dedurre che la funzione è differenziabile in $ (0,l) $ ?
$ lim_{(h,k)rarr(0,0)}{ f(0+h,l+k)-f(0,l)-f_x (0,l)h-f_y(0,l)k}/sqrt{h^2+k^2 } =0$ . MI basta guardare i due casi e, se in entrambi i casi la relazione è soddisfatta posso dedurre che la funzione è differenziabile in $ (0,l) $ ?
Nessuno ha qualche idea?
Allora l'esercizio è corretto, anche se non ha senso in questo caso specifico fare il "limite sinistro" visto che la funzione è definita da sinistra in zero. L'esercizio si conclude verificando che le derivate parziali sono continue nell'origine.
Per fare ciò devi calcolare le derivate parziali (che avranno formule diverse a sinistra e a destra di x=0), e confrontare il limite destro delle derivate parziali col limite sinistro(anche se nel tuo caso non è un vero limite sinistro perché da sinistra le derivate parziali sono definite) , verificando che questi limiti valgono $1$ avrai dimostrato la continuità delle derivate parziali e quindi la differenziabilità.
Questa è la strada più facile e dovresti seguire questa strada.
Adesso penso che tu voglia capire come dovresti comportarti in questo caso se volessi a tutti i costi usare la definizione di differenziabilità dico bene??
Esatto. Però ribadisco che la strada migliore è notare che le derivate parziali sono funzioni continue ovunque quindi la tua funzione è differenziabile ovunque.
Ora Se sei cocciuto e vuoi per forza fare quel limite e ti stai chiedendo operativamente come fare, beh prima di spaccarti il cervello applica la definizione per entrambe le formule, dimostrare che il limite è zero per $f(x,y)=x+y$ è banale perché il numeratore è identicamente nullo, quindi lo fai da solo per esercizio.
Qui ti svolgo l'altra per sfizio, per il teorema di equivalenza della norma posso scegliere la norma che voglio e per comodità scelgo la norma $||\cdot||_1$ :
$$
\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{f(x,y)-f(0,l)-\nabla_f (0,l)\cdot (x,y-l)}{||(x,y)-(0,l)||} =\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{x+ye^{-x^2}-l-x-(y-l)}{|x|+|y-l|} =\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{ye^{-x^2}-y}{|x|+|y-l|}
=\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{y\left(e^{-x^2}-1\right)}{|x|+|y-l|}\sim \lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{-x^2y}{|x|+|y-l|}
$$
Studio ora il modulo per comodità, tanto voglio dimostrare che il limite è nullo quindi se il limite del modulo è nullo allora lo è anche quello di partenza
$$
\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{x^2|y|}{|x|+|y-l|}\leq \lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{x^2|y|}{|x|}=\lim_{(x,y)\to (0,l)}|x||y|=0
$$
Ora come vedi ho svolto il limite fregandomene del fatto che la funzione fosse definita in questo modo solo per $x\le 0$, ho ottenuto che il limite è nullo per ogni "strada" (o meglio ogni successione) che arriva a $(0,l) , \forall l$ quindi se vale per ogni percorso varrà anche solo per i percorsi che finiscono in $(0,l)$ rimanendo nel semipiano $x\le 0$.
Una domanda lecita sarebbe, ma se il limite non è nullo se considero tutte le strade, per caso può essere nullo se considero solo quelle che arrivano in $(0,l)$ rimanendo nel semipiano $x\le 0$ ?? La risposta è se riesci a dimostrarlo con le disuguaglianze certo, però dubito ti capiteranno mai esercizi così infami.
Per inciso quelli non sono ""rami"" ma sono semipiani.
Per fare ciò devi calcolare le derivate parziali (che avranno formule diverse a sinistra e a destra di x=0), e confrontare il limite destro delle derivate parziali col limite sinistro(anche se nel tuo caso non è un vero limite sinistro perché da sinistra le derivate parziali sono definite) , verificando che questi limiti valgono $1$ avrai dimostrato la continuità delle derivate parziali e quindi la differenziabilità.
Questa è la strada più facile e dovresti seguire questa strada.
Adesso penso che tu voglia capire come dovresti comportarti in questo caso se volessi a tutti i costi usare la definizione di differenziabilità dico bene??
"GIOWRE92":
Ciò che non capisco è come poter applicare la definizione di differenziabilità :
$ lim_{(h,k)rarr(0,0)}{ f(0+h,l+k)-f(0,l)-f_x (0,l)h-f_y(0,l)k}/sqrt{h^2+k^2 } =0 $ . MI basta guardare i due casi e, se in entrambi i casi la relazione è soddisfatta posso dedurre che la funzione è differenziabile in $ (0,l) $ ?
Esatto. Però ribadisco che la strada migliore è notare che le derivate parziali sono funzioni continue ovunque quindi la tua funzione è differenziabile ovunque.
Ora Se sei cocciuto e vuoi per forza fare quel limite e ti stai chiedendo operativamente come fare, beh prima di spaccarti il cervello applica la definizione per entrambe le formule, dimostrare che il limite è zero per $f(x,y)=x+y$ è banale perché il numeratore è identicamente nullo, quindi lo fai da solo per esercizio.
Qui ti svolgo l'altra per sfizio, per il teorema di equivalenza della norma posso scegliere la norma che voglio e per comodità scelgo la norma $||\cdot||_1$ :
$$
\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{f(x,y)-f(0,l)-\nabla_f (0,l)\cdot (x,y-l)}{||(x,y)-(0,l)||} =\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{x+ye^{-x^2}-l-x-(y-l)}{|x|+|y-l|} =\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{ye^{-x^2}-y}{|x|+|y-l|}
=\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{y\left(e^{-x^2}-1\right)}{|x|+|y-l|}\sim \lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{-x^2y}{|x|+|y-l|}
$$
Studio ora il modulo per comodità, tanto voglio dimostrare che il limite è nullo quindi se il limite del modulo è nullo allora lo è anche quello di partenza
$$
\lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{x^2|y|}{|x|+|y-l|}\leq \lim_{(x,y)\to (0,l)}\frac{x^2|y|}{|x|}=\lim_{(x,y)\to (0,l)}|x||y|=0
$$
Ora come vedi ho svolto il limite fregandomene del fatto che la funzione fosse definita in questo modo solo per $x\le 0$, ho ottenuto che il limite è nullo per ogni "strada" (o meglio ogni successione) che arriva a $(0,l) , \forall l$ quindi se vale per ogni percorso varrà anche solo per i percorsi che finiscono in $(0,l)$ rimanendo nel semipiano $x\le 0$.
Una domanda lecita sarebbe, ma se il limite non è nullo se considero tutte le strade, per caso può essere nullo se considero solo quelle che arrivano in $(0,l)$ rimanendo nel semipiano $x\le 0$ ?? La risposta è se riesci a dimostrarlo con le disuguaglianze certo, però dubito ti capiteranno mai esercizi così infami.
"GIOWRE92":
Ovviamente sui due rami singoli entrambe le funzioni sono continue e differenziabili. Il problema sorge nei punti del tipo $ (0,l) $ .
Per inciso quelli non sono ""rami"" ma sono semipiani.
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