Continuità e differenziabilità di una funzione
$ f(x,y) $ vale $ (x^2-y^2)/(|x|+|y|)arctanx $ quando $ (x,y)≠(0,0) $ e $ 0 $ quando $ (x,y)=(0,0) $ .
inizio studiando la continuità in $ (0,0) $ : il primo controllo che ho fatto è stato $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,mx)=lim_((x,y) -> (0,0))(x^2-(mx)^2)/(|x|+|mx|)arctanx= $ e poichè $ x^2>=0=>x^2=|x^2|=|x|^2 $ allora $ lim_((x,y) -> (0,0))(|x|^2(1-m^2))/(|x|(1+|m|))arctanx=0 $ quindi procedo con una stima dall'alto sfruttando che $ x^2-y^2=(|x|+|y|)(|x|-|y|) $ allora $ |f(x,y)|=|(x^2-y^2)/(|x|+|y|)arctanx|=(|x|-|y|)arctanx <= (|x|-|y|)pi/2 ->0 $ quando $ (x,y)->0 $
concludo quindi che f è continua in (0,0). è anche continua in R^2\(0,0) perchè rapporto di due funzioni continue. posso procedere a studiare la differenziabilità o ho sbagliato qualcosa?
inizio studiando la continuità in $ (0,0) $ : il primo controllo che ho fatto è stato $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,mx)=lim_((x,y) -> (0,0))(x^2-(mx)^2)/(|x|+|mx|)arctanx= $ e poichè $ x^2>=0=>x^2=|x^2|=|x|^2 $ allora $ lim_((x,y) -> (0,0))(|x|^2(1-m^2))/(|x|(1+|m|))arctanx=0 $ quindi procedo con una stima dall'alto sfruttando che $ x^2-y^2=(|x|+|y|)(|x|-|y|) $ allora $ |f(x,y)|=|(x^2-y^2)/(|x|+|y|)arctanx|=(|x|-|y|)arctanx <= (|x|-|y|)pi/2 ->0 $ quando $ (x,y)->0 $
concludo quindi che f è continua in (0,0). è anche continua in R^2\(0,0) perchè rapporto di due funzioni continue. posso procedere a studiare la differenziabilità o ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Ciao! Lo studio della continuità in $(0,0)$ è sostanzialmente corretto, ti sei solo perso un modulo in $|\arctan x|$ che non cambia la strategia di attacco.
Comunque, non è necessario stimare $|\arctan x|$ con $\frac{\pi}{2}$: hai che $(|x|-|y|) |\arctan x| \to 0$ per $(x,y) \to (0,0)$ per continuità di $(|x|-|y|)|\arctan x|$.
Comunque, non è necessario stimare $|\arctan x|$ con $\frac{\pi}{2}$: hai che $(|x|-|y|) |\arctan x| \to 0$ per $(x,y) \to (0,0)$ per continuità di $(|x|-|y|)|\arctan x|$.
grazie! (l'esercizio è molto simile a quello in cui mi hai aiutato di proposito!)
la funzione non è differenziabile in $ (x_0,0) $ con $ x_0≠0 $ perchè non esiste $ (partial f)/(partial y)(x_0,0) $ . pur avendo notato ciò volevo calcolare per esercizio $ (partial f)/(partial x)(x_0,0) $ che non so però come portare a termine.
ho scritto: $ (partial f)/(partial x)(x_0,0) =lim_(h -> 0) ((f(x_0+h,0)-f(x_0,0))/h) $ $ =lim_(h -> 0)1/h[|x_0+h|arctan(x_0+h)-|x_0|arctanx_0] $
la funzione non è differenziabile in $ (x_0,0) $ con $ x_0≠0 $ perchè non esiste $ (partial f)/(partial y)(x_0,0) $ . pur avendo notato ciò volevo calcolare per esercizio $ (partial f)/(partial x)(x_0,0) $ che non so però come portare a termine.
ho scritto: $ (partial f)/(partial x)(x_0,0) =lim_(h -> 0) ((f(x_0+h,0)-f(x_0,0))/h) $ $ =lim_(h -> 0)1/h[|x_0+h|arctan(x_0+h)-|x_0|arctanx_0] $
Prego! Sì, la derivata è un po' costipante.
Dato che $x_0 \ne 0$, è $x_0>0$ oppure $x_0<0$: mettiamoci nel caso $x_0>0$, è quindi $|x_0|=x_0$ e, dato che $x_0$ è fisso e $h \to 0$, possiamo assumere che sia $|h|<\frac{1}{2}x_0$ in modo tale che risulti $x_0+h>0$ sia per $h \to 0^+$ che per $h \to 0^-$.
Da ciò segue che $|x_0+h|=x_0+h$ sia per $h \to 0^+$ che per $h \to 0^-$.
Dallo sviluppo di Taylor dell'arcotangente con centro in $x_0$, si ha
$$\arctan(x_0+h)=\arctan(x_0)+\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x} \arctan x \right]_{x=x_0}h+\text{o}(h)=\arctan(x_0)+ \frac{1}{1+x_0^2}h+\text{o}(h)$$
Quindi, sostituendo quest'ultima espressione nel limite, si ha
$$\lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)\left[\arctan(x_0)+\frac{1}{1+x_0^2}h+\text{o}(h)\right]-x_0 \arctan x_0}{h}$$
$$=\lim_{h \to 0}\frac{h\arctan(x_0)+\frac{x_0}{1+x_0^2}h+\text{o}(h)}{h}=\arctan(x_0)+\frac{x_0}{1+x_0^2}$$
La funzioni è dispari in $x$, quindi la derivata è pari in $x$ (dimostrazione di questo fatto lasciata per esercizio) e perciò la derivata per $x_0<0$ è uguale a quella per $x_0>0$.
Perciò $f$ è derivabile parzialmente rispetto a $x$ nei punti $(x_0,0)$ con $x_0 \ne 0$, e si ha
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,0)=\arctan(x_0)+\frac{x_0}{1+x_0^2}$$
Forse con De L'Hôpital (una volta tanto che serve!) si faceva pure più in fretta, dopo essersi sbarazzati del modulo; ma penso che l'approccio con Taylor sia più istruttivo, anche perché l'ho sempre visto usare molto di più nell'approccio con funzioni generiche di cui non si può calcolare esplicitamente la derivata.
(Uno può notare che, moralmente, stai calcolando la derivata della funzione $|x| \arctan x$ in $x_0 \ne 0$).
Dato che $x_0 \ne 0$, è $x_0>0$ oppure $x_0<0$: mettiamoci nel caso $x_0>0$, è quindi $|x_0|=x_0$ e, dato che $x_0$ è fisso e $h \to 0$, possiamo assumere che sia $|h|<\frac{1}{2}x_0$ in modo tale che risulti $x_0+h>0$ sia per $h \to 0^+$ che per $h \to 0^-$.
Da ciò segue che $|x_0+h|=x_0+h$ sia per $h \to 0^+$ che per $h \to 0^-$.
Dallo sviluppo di Taylor dell'arcotangente con centro in $x_0$, si ha
$$\arctan(x_0+h)=\arctan(x_0)+\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x} \arctan x \right]_{x=x_0}h+\text{o}(h)=\arctan(x_0)+ \frac{1}{1+x_0^2}h+\text{o}(h)$$
Quindi, sostituendo quest'ultima espressione nel limite, si ha
$$\lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)\left[\arctan(x_0)+\frac{1}{1+x_0^2}h+\text{o}(h)\right]-x_0 \arctan x_0}{h}$$
$$=\lim_{h \to 0}\frac{h\arctan(x_0)+\frac{x_0}{1+x_0^2}h+\text{o}(h)}{h}=\arctan(x_0)+\frac{x_0}{1+x_0^2}$$
La funzioni è dispari in $x$, quindi la derivata è pari in $x$ (dimostrazione di questo fatto lasciata per esercizio) e perciò la derivata per $x_0<0$ è uguale a quella per $x_0>0$.
Perciò $f$ è derivabile parzialmente rispetto a $x$ nei punti $(x_0,0)$ con $x_0 \ne 0$, e si ha
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,0)=\arctan(x_0)+\frac{x_0}{1+x_0^2}$$
Forse con De L'Hôpital (una volta tanto che serve!) si faceva pure più in fretta, dopo essersi sbarazzati del modulo; ma penso che l'approccio con Taylor sia più istruttivo, anche perché l'ho sempre visto usare molto di più nell'approccio con funzioni generiche di cui non si può calcolare esplicitamente la derivata.
(Uno può notare che, moralmente, stai calcolando la derivata della funzione $|x| \arctan x$ in $x_0 \ne 0$).
sei stato chiarissimo, non ho altri dubbi su questo esercizio, grazie mille!
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