Continuità e differenziabilità di una funzione
salve ragazzi, devo studiare la continuità e la differenziabilità di $ f:RR^2->RR $ al variare di $ beta∈RR $ :
$ f(x,y)={x^2(y+1)-y^2(y-1))/(x^2+y^2) $ se $ (x,y)≠(0,0) $ , $ beta $ se $ (x,y)=(0,0) $ .
ho già notato che è continua solo se $ beta $ è diverso da uno. ma ora suggerimento c'è scritto che per verificare la continuità in questo caso dobbiamo mostrare che $ lim_((x,y) -> (0,0) )f(x,y)-1=0 $
la mia domanda è: perchè $ lim_((x,y) -> (0,0) )f(x,y)-1 $ ?
$ f(x,y)={x^2(y+1)-y^2(y-1))/(x^2+y^2) $ se $ (x,y)≠(0,0) $ , $ beta $ se $ (x,y)=(0,0) $ .
ho già notato che è continua solo se $ beta $ è diverso da uno. ma ora suggerimento c'è scritto che per verificare la continuità in questo caso dobbiamo mostrare che $ lim_((x,y) -> (0,0) )f(x,y)-1=0 $
la mia domanda è: perchè $ lim_((x,y) -> (0,0) )f(x,y)-1 $ ?
Risposte
Ciao itisscience,
Perché? Invece è continua proprio per $\beta = 1 $ e per la definizione di continuità occorre dimostrare che $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 1 $, cioè proprio $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} [f(x,y) - 1] = 0 $, cosa che è vera:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} [f(x,y) - 1] = \lim_{(x,y) \to (0,0)} [(x^2(y+1)-y^2(y-1))/(x^2+y^2) - 1] = $
$ = \lim_{(x,y) \to (0,0)} [(x^2 y - y^3)/(x^2+y^2) + 1 - 1] = $
$ = \lim_{(x,y) \to (0,0)} (y(x^2 - y^2))/(x^2+y^2) = 0 $
"itisscience":
ho già notato che è continua solo se $\beta $ è diverso da uno.
Perché? Invece è continua proprio per $\beta = 1 $ e per la definizione di continuità occorre dimostrare che $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 1 $, cioè proprio $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} [f(x,y) - 1] = 0 $, cosa che è vera:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} [f(x,y) - 1] = \lim_{(x,y) \to (0,0)} [(x^2(y+1)-y^2(y-1))/(x^2+y^2) - 1] = $
$ = \lim_{(x,y) \to (0,0)} [(x^2 y - y^3)/(x^2+y^2) + 1 - 1] = $
$ = \lim_{(x,y) \to (0,0)} (y(x^2 - y^2))/(x^2+y^2) = 0 $
grazie mille per la chiarezza!! tuttavia ho due dubbi sulla differenziabilità, quando calcolo la derivata parziale $ (∂f)/(∂x)(0,0)=lim_(t -> 0) {f(t,0)-f(0,0)}/t $ che dovrebbe venire $ lim_(t -> 0) {1-1}/t=0 $ invece i calcoli che faccio io sono: $ lim_(t -> 0) 1/t[(t^2-1)/t^2] $ dove il "-1" è il valore $ f(0,0) $ e non riesco a capire davvero dove sbaglio.
nel passaggio finale dice che, considerando $ |(2x^2y)/((x^2+y^2)^(3/2))| $ , se si pone $ (x,y)=(t,t) $ (ovvero considerando la restrizione sulla retta $ y=x $ si trova la funzione $ (2t^3)/(|t|^3 $ .
ma come mai non è $ |(2t^2t)/((t^2+t^2)^(3/2))| =(2|t|^3)/(2t^2)^(3/2) $ ?
nel passaggio finale dice che, considerando $ |(2x^2y)/((x^2+y^2)^(3/2))| $ , se si pone $ (x,y)=(t,t) $ (ovvero considerando la restrizione sulla retta $ y=x $ si trova la funzione $ (2t^3)/(|t|^3 $ .
ma come mai non è $ |(2t^2t)/((t^2+t^2)^(3/2))| =(2|t|^3)/(2t^2)^(3/2) $ ?
A me infatti risulta così:
$ (del f)/(del x)(0,0) := \lim_{t \to 0}(f(t,0)-f(0,0))/t = \lim_{t \to 0}(1 - 1)/t = 0 $
Eh, qui bisogna che riporti i calcoli che hai fatto...
Nel passaggio finale di che cosa? Perché con $ (x, y) \ne (0,0) $ mi risulta che si ha:
$ (del f)/(del x) = (del)/(del x)[(x^2(y+1)-y^2(y-1))/(x^2+y^2)] = (del)/(del x)[(x^2 y - y^3)/(x^2+y^2) + 1] = (4 x y^3)/(x^2 + y^2)^2 $
Quindi ponendo $(x, y) = (t, t) \ne (0, 0) $ si ottiene:
$ (4 t^4)/(t^2 + t^2)^2 = (4 t^4)/(2t^2)^2 = (4 t^4)/(4t^4) = 1 $
$ (del f)/(del x)(0,0) := \lim_{t \to 0}(f(t,0)-f(0,0))/t = \lim_{t \to 0}(1 - 1)/t = 0 $
"itisscience":
invece i calcoli che faccio io sono: $ \lim_{t \to 0} 1/t[(t^2−1)/t^2] $ dove il "-1" è il valore $f(0,0)$ e non riesco a capire davvero dove sbaglio.
Eh, qui bisogna che riporti i calcoli che hai fatto...
"itisscience":
nel passaggio finale dice che, considerando $ |(2x^2y)/((x^2+y^2)^(3/2))| $ [...]
Nel passaggio finale di che cosa? Perché con $ (x, y) \ne (0,0) $ mi risulta che si ha:
$ (del f)/(del x) = (del)/(del x)[(x^2(y+1)-y^2(y-1))/(x^2+y^2)] = (del)/(del x)[(x^2 y - y^3)/(x^2+y^2) + 1] = (4 x y^3)/(x^2 + y^2)^2 $
Quindi ponendo $(x, y) = (t, t) \ne (0, 0) $ si ottiene:
$ (4 t^4)/(t^2 + t^2)^2 = (4 t^4)/(2t^2)^2 = (4 t^4)/(4t^4) = 1 $
per la prima domanda: quello che devo fare è sostituire x=t e y=0, giusto?
per la seconda domanda: $ |{f(x,y)-f(0,0)-∇f(0,0)*(x,y)}/(√(x^2+y^2))|=|(2x^2y)/(x^2+y^2)^(3/2)| $ da cui quello che ho chiesto prima
per la seconda domanda: $ |{f(x,y)-f(0,0)-∇f(0,0)*(x,y)}/(√(x^2+y^2))|=|(2x^2y)/(x^2+y^2)^(3/2)| $ da cui quello che ho chiesto prima
"itisscience":
per la prima domanda: quello che devo fare è sostituire x=t e y=0, giusto?
Beh, mi sembra evidente... Siccome poi non dovresti avere difficoltà a verificare che $f(t, 0) = 1 $ e $f(0,0) = \beta = 1 $ ne consegue ciò che ho già scritto nel mio post precedente.
Per quanto riguarda la seconda domanda, come minimo dovresti prima calcolarti $(del f)/(del y)(0,0) $:
$ (del f)/(del y)(0,0) := \lim_{t \to 0}(f(0,t)-f(0,0))/t = \lim_{t \to 0}(-(t - 1) - 1)/t = = \lim_{t \to 0}(-t)/t = - 1 $
Quindi in effetti si ha:
$ |{f(x,y)-f(0,0)-∇f(0,0)*(x,y)}/(\sqrt{x^2+y^2})|= |((y(x^2 - y^2))/(x^2+y^2) + y)/(\sqrt{x^2+y^2})|= |((yx^2 - y^3 +yx^2 + y^3)/(x^2+y^2))/(\sqrt{x^2+y^2})| = |(2x^2 y)/(x^2+y^2)^{3/2}| $
Pertanto se $(x, y) = (t, t) \ne (0, 0) $ a me risulta ciò che risulta anche a te...
Non è che invece l'idea è quella di una maggiorazione di $ |(2x^2 y)/(x^2+y^2)^{3/2}| $ ?
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