Continuita e differenziabilita' di funzione a 2 variabili

[antony_8]

Ciao ragazzi, sono qui per la risoluzione di un esercizio. Esso mi chiede:
Studiare continuita', l'esistenza di entrambe le derivate parziali e la differenziabilita' in $ R^2$ della seguente funzione:
$$
f(x,y) :
|y-x^2|log|y-x^2| \; se \; y \neq x^2 \\
0 \; se \; y=x^2 \\
$$
Il mio problema principale e' non saper studiare la contiunita della funzione per $y=x^2$, ho provato con le coordinate polari
ma diviene tutto piu' complesso.
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta

[Mathita]

Osserva che per $y\ne x^2$ (o se vuoi per $y-x^2\ne 0$), $f(x,y)$ può essere vista come composizione di due funzioni: $g(t)=|t|\log(|t|)$ definita nel momento in cui $t\in\mathbb{R}-\{0\}$ e $h(x,y)=y-x^2$ definita per ogni punto del piano, cosicché:

$f(x,y)=g(h(x,y))\ \ \ \forall y-x^2\ne 0$

Il trucco consiste nell'estendere con continuità $g(t)$ su $\mathbb{R}$ (Analisi 1, quindi facile) e sfruttare infine il risultato notevole che riguarda la continuità della composizione di funzioni continue.

[antony_8]

"Mathita":Osserva che per $y\ne x^2$ (o se vuoi per $y-x^2\ne 0$), $f(x,y)$ può essere vista come composizione di due funzioni: $g(t)=|t|\log(|t|)$ definita nel momento in cui $t\in\mathbb{R}-\{0\}$ e $h(x,y)=y-x^2$ definita per ogni punto del piano, cosicché:

$f(x,y)=g(h(x,y))\ \ \ \forall y-x^2\ne 0$

Il trucco consiste nell'estendere con continuità $g(t)$ su $\mathbb{R}$ (Analisi 1, quindi facile) e sfruttare infine il risultato notevole che riguarda la continuità della composizione di funzioni continue.

Ciao Mathita, ti ringrazio della risposta .
Io avevo pensato a ridurre tutto al caso di una sola variabile, dove per il punto (0,0) ho che il limite e' 0. Il mio dubbio pero' e' cosa fare per $\alpha \ne 0$. Attraverso un'applicazione (Wolframalpha) so' che il limite esiste solo per $\alpha=0$ dove il limite e':
$
lim_{(x,y) \rightarrow (\alpha , \alpha^2)} |y-x^2|log|y-x^2|
$
non so' se sono sulla strada giusta. Vi ringrazio anticipatamente per la risposta ragazzi

[Mathita]

Il tuo approccio non è sbagliato, semplicemente va portato a termine con i giusti mezzi. Ad esempio, io farei proprio a meno delle coordinate polari in questo caso, anzi mi avvarrei della sostituzione $t=y-x^2$ e, dopo aver notato che per $(x,y)\to (\alpha,\alpha^2), t\to 0$, riscriverei il limite nella forma $\lim_{t\to 0}|t|\log(|t|)$ che è chiaramente uguale a zero. Nota che $t\to 0$ indipendentemente dal valore che $\alpha$ assume.

[Edit]: I risultati relativi ai limiti in più variabili che Wolfram fornisce sono da prendere cum grano salis, soprattutto se ci sono valori assoluti. Wolfie a volte "ragiona" con variabili complesse (cioè considera $x,y\in\mathbb{C}$) e dà risultati anomali.

[dissonance]

"fisico8":Il mio dubbio pero' e' cosa fare per $\alpha \ne 0$. Attraverso un'applicazione (Wolframalpha) so' che il limite esiste solo per $\alpha=0$ dove il limite e':
$
lim_{(x,y) \rightarrow (\alpha , \alpha^2)} |y-x^2|log|y-x^2|
$
non so' se sono sulla strada giusta. Vi ringrazio anticipatamente per la risposta ragazzi

Ma lascia stare Wolfram Alpha. I software vanno bene per calcoli meccanici, o per fare disegni, NON per queste cose che richiedono testa. Difatti, quel risultato è spazzatura. Segui invece i consigli di MathIta, ragionando bene sulla sua risposta.

(P.S.: si scrive "non so", senza apostrofo. Non voglio risultare antipatico, anche io facevo qualche errore così e qui sopra me lo hanno fatto notare, secondo me è meglio, così si impara).

[antony_8]

Ragazzi grazie di cuore per la risposta, questi piccoli consigli mi serviranno per acquisire maggior sicurezza in questi esercizi.
dissonance grazie di avermelo fatto presente (far notare un errore e' sempre cosa giusta).

[Mathita]

"fisico8":Ragazzi grazie di cuore per la risposta, questi piccoli consigli mi serviranno per acquisire maggior sicurezza in questi esercizi.
dissonance grazie di avermelo fatto presente (far notare un e' sempre cosa giusta).

È l'approccio perfetto per diventare un grande scienziato: comprendere gli errori commessi e ringraziare chi ti corregge sono condizioni necessarie (ma non sufficienti) per fare grandi cose!