Continuita' e differenziabilita'

[ludovica.sarandrea]

Buonasera, ho il seguente problema su questo esercizio
Premetto che e' il primo esercizio che faccio in cui mi e' richiesto di studiare differenziabilita' e continuita' tramite le diguguaglianze di Young e non riesco a capire in che modo queste possano essere sfruttate a questo fine. So cosa sono le disuaguaglianze di Young e cosa dicono ma non so minimamente come e perche' dovrei applicarle.
L'esercizio mi chiede di dimostrare con Young che la funzione f(x,y) non e' differenziabile ma e' continua in $(0,0)$ con
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
(|x|^{5/4}|y|^{1/2})/(|x|^{3/2}+|y|^2), &\text{se}\ (x,y) \neq (0,0),\\
0, &\text{se}\ (x,y) = (0,0).
\end{cases}
\]

[Rigel1]

Puoi maggiorare il numeratore usando la disuguaglianza di Young: se \(p\) e \(p'\) sono esponenti coniugati, allora
\[
(*)\qquad |x|^{5/4} |y|^{1/2} \leq
\frac{1}{p} |x|^{5p/4} + \frac{1}{p'} |y|^{p'/2}.
\]
Se vogliamo avere una maggiorazione ottimale per il denominatore, è opportuno scegliere \(p\) in modo che
\[
\frac{5p/4}{p'/2} = \frac{3/2}{2}\,,
\]
da cui ricaviamo che \(p = 13/10\), \(p'= 13/3\).

Sostituendo in (*) abbiamo che
\[
|x|^{5/4} |y|^{1/2} \leq
\frac{10}{13} |x|^{13/8} + \frac{3}{13} |y|^{13/6}\,.
\]
Di conseguenza, se \((x,y)\neq (0,0)\),
\[
|f(x,y)| \leq
\frac{10}{13} \frac{|x|^{13/8}}{|x|^{3/2}} + \frac{3}{13} \frac{|y|^{13/6}}{|y|^2}
\leq
\frac{10}{13} |x|^{1/8} + \frac{3}{13} |y|^{1/6}\to 0\,.
\]

[ludovica.sarandrea]

Ti ringrazio!! Ora e' tutto piu' chiaro