Continuità e differenziabilità
Ciao, sto svolgendo il seguente esercizio:
Per quanto riguarda la continuità, non ho particolari problemi, in quanto le due funzioni sono continue e inoltre:
$ lim_((x,y) -> (x,-x)) (x+y)(x-y)^2+1=1 $
Sulla differenziabilità: sicuramente per $ y> -x $ e $ y< -x $, la funzione è differenziabile per il teorema del differenziale totale. Ora mi chiedo: posso estendere questo risultato anche al caso $ y=-x $ o devo prestare particolare attenzione?
Grazie!
Ho provato ad usare la definizione (il limite lunghissimo), prima però ho calcolato le derivate parziali in $ (x,-x) $, che, se non ho fatto errori, dovrebbero essere:
$ f_x(x_0,-x_0)=f_y(x_0,-x_0)=4(x_0)^2 $
Dalla definizione di differenziabilità:
$ lim_((x,y) -> (x_0,-x_0)) ((x+y)(x-y)^2+1-1-4(x_0)^2(x-x_0)-4(x_0)^2(y+x_0))/sqrt((x-x_0)^2+(y+x_0)^2) $ che dopo qualche passaggio, dovrebbe diventare:
$ lim_((x,y) -> (x_0,-x_0)) ((x+y)[(x-y)^2-4(x_0)^2])/sqrt(x^2+y^2+2(x_0)^2-2x(x_0)+2yx_0) $
Spero proprio che questo limite faccia davvero $ 0 $.
Per quanto riguarda la continuità, non ho particolari problemi, in quanto le due funzioni sono continue e inoltre:
$ lim_((x,y) -> (x,-x)) (x+y)(x-y)^2+1=1 $
Sulla differenziabilità: sicuramente per $ y> -x $ e $ y< -x $, la funzione è differenziabile per il teorema del differenziale totale. Ora mi chiedo: posso estendere questo risultato anche al caso $ y=-x $ o devo prestare particolare attenzione?
Grazie!
Ho provato ad usare la definizione (il limite lunghissimo), prima però ho calcolato le derivate parziali in $ (x,-x) $, che, se non ho fatto errori, dovrebbero essere:
$ f_x(x_0,-x_0)=f_y(x_0,-x_0)=4(x_0)^2 $
Dalla definizione di differenziabilità:
$ lim_((x,y) -> (x_0,-x_0)) ((x+y)(x-y)^2+1-1-4(x_0)^2(x-x_0)-4(x_0)^2(y+x_0))/sqrt((x-x_0)^2+(y+x_0)^2) $ che dopo qualche passaggio, dovrebbe diventare:
$ lim_((x,y) -> (x_0,-x_0)) ((x+y)[(x-y)^2-4(x_0)^2])/sqrt(x^2+y^2+2(x_0)^2-2x(x_0)+2yx_0) $
Spero proprio che questo limite faccia davvero $ 0 $.
Risposte
Allora prima di applicare la definizione di differenziabilità io proverei a vedere se le derivate parziali sono continue, da qualche parte, in particolare tu hai che le derivate parziali sono continue nell'origine e in tutti gli altri punti dello spazio, ad eccezione della retta $y=-x$ (esclusa ovviamente dell'origine) quindi concludi che la funzione è ivi differenziabile in tutti i punti in cui le derivate parziali esistono e sono continue.
A questo punto per gli altri punti della retta devi affrontare il maxi limite nei punti $(x,-x)$ ovvero
$$
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{(x+h+(-x)+k)(x+h-(-x)-k)^2+1-1-4x^2(h+k)}{||(h,k)||}
$$
A occhio il limite sembrerebbe nullo quindi seguiamo questa strada, dopo poche manipolazioni algebriche otteniamo
$$
\lim_{(h,k)\to(0,0)}(h+k)\frac{h^2+k^2-2hk-4xk+4xh}{||(h,k)||}
$$
A questo punto proviamo a maggiorare,
$$
\left|(h+k)\frac{h^2+k^2-2hk-4xk+4xh}{||(h,k)||}\right|=|h+k|\frac{|h^2+k^2-2hk-4xk+4xh|}{||(h,k)||}\leq (|h|+|k|)\frac{|h^2+k^2-2hk-4xk+4xh|}{||(h,k)||}
$$
A questo punto per il teorema dell'equivalenza delle norme in $R^n$ possiamo scegliere la norma che più ci aggrada, in questo caso è utile scegliere $$||(h,k)||=||(h,k)||_1=|h|+|k|$$ e la sostituiamo a denominatore ottenendo
$$
(|h|+|k|)\frac{|h^2+k^2-2hk-4xk+4xh|}{|h|+|k|}=|h^2+k^2-2hk-4xk+4xh|\to 0
$$
Quindi il limite tende a zero perciò la funzione è differenziabile su tutta la retta, oltre che per quanto detto prima in tutto il resto del dominio.
A questo punto per gli altri punti della retta devi affrontare il maxi limite nei punti $(x,-x)$ ovvero
$$
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{(x+h+(-x)+k)(x+h-(-x)-k)^2+1-1-4x^2(h+k)}{||(h,k)||}
$$
A occhio il limite sembrerebbe nullo quindi seguiamo questa strada, dopo poche manipolazioni algebriche otteniamo
$$
\lim_{(h,k)\to(0,0)}(h+k)\frac{h^2+k^2-2hk-4xk+4xh}{||(h,k)||}
$$
A questo punto proviamo a maggiorare,
$$
\left|(h+k)\frac{h^2+k^2-2hk-4xk+4xh}{||(h,k)||}\right|=|h+k|\frac{|h^2+k^2-2hk-4xk+4xh|}{||(h,k)||}\leq (|h|+|k|)\frac{|h^2+k^2-2hk-4xk+4xh|}{||(h,k)||}
$$
A questo punto per il teorema dell'equivalenza delle norme in $R^n$ possiamo scegliere la norma che più ci aggrada, in questo caso è utile scegliere $$||(h,k)||=||(h,k)||_1=|h|+|k|$$ e la sostituiamo a denominatore ottenendo
$$
(|h|+|k|)\frac{|h^2+k^2-2hk-4xk+4xh|}{|h|+|k|}=|h^2+k^2-2hk-4xk+4xh|\to 0
$$
Quindi il limite tende a zero perciò la funzione è differenziabile su tutta la retta, oltre che per quanto detto prima in tutto il resto del dominio.
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