Continuità e differenziabilità

[stregatto1]

ciao!
ieri ho dato lo scritto di analisi, siccome ci sono buone probabilità di averlo passato...avrei bisogno di una mano...non sapevo come fare questo esercizio...quindi me lo chiederanno sicuramente...qualcuno mi aiuta?!

Sia $ f(x,y)= { ( |y^3|log(x^2+e^(-1/y^2)); se y!= 0 ),( 0; se y=0 ):} $
Dunque il dominio è tutto R.
Poi ho cercato di studiare la continuità:

se $ x!=0 $ e $ (x,y)->(0,0) $ allora
$ |y^3|log(x^2+e^(-1/y^2))=|y^3|log(x^2)log(e^(-1/y^2))=|y^3|2log(x)(-1/y^2)log(e)<= -|y|x 2log(e)->0 $

se $ x=0 $ e $ (x,y)->(0,0) $ allora
$ |y^3|log(x^2+e^(-1/y^2))=|y^3|log(e^(-1/y^2))=|y^3|(-1/y^2)log(e)=-|y| ->0 $

allora la funzione è continua su tutto il suo dominio.

Per la differenziabilità ho qualche problema...
conosco il limite da calcolare:
$ lim_((h,k)->(0,0)) (f(x_0+h, y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k)/sqrt(h^2+k^2)=0 $

ma qual'è il punto $(x_0,y_0)$ ??? non sto studiando la differenziabilità lungo tutto l'asse delle ascisse!?

se qualcuno mi aiutasse sarebbe splendido!!!
grazie per la pazienza!!!
ciao ciao S.

[Mino_01]

Prova a vedere quì

viewtopic.php?f=36&t=124502&hilit=differenziabile

e in bocca al lupo per l' esame
Saluti
Mino

[stregatto1]

Ciao, prima di tutto grazie per a risposta, quindi è giusto utilizzare la definizione di differenziabilità, perché la funzione è $ C^0 $ ma non $ C^1 $ ,però, siccome sto cercando di capire se tutti i punti di una certa sono differenziabili, devo controllare tutti i punti che appartengono a questa retta, perché il limite fornisce un informazione locale. Sbaglio!?

Devo quindi calcolare $ lim_((h,k)→(0,0))(f(x_0+h,y_0+k)−f(x_0,y_0)−f_x(x_0,y_0)h−f_y(x_0,y_0)k)/sqrt(h^2+k^2)=0 $ per tutti i punti del tipo $ (x_0,y_0)=(a,0) $ con $ ainR $.

Grazie per la pazienza,
ciao S.