Continuità e differenziabilità

[gillious]

Buongiorno a tutti, tra pochi giorni avrò l'esame di Analisi 1 per Ingegneria e ho difficoltà in questo tipo di esercizi (sulle funzioni di due variabili). Vi chiedo cortesemente di aiutarmi spiegandomi, per quanto possibile, i passaggi per svolgerli perché sono le uniche due richieste che mi mettono in difficoltà su queste tipologie. Vi ringrazio in anticipo e scrivo di seguito il testo di due prove d'esame.

es.1
$ f(x,y)={ (((e^x-1)ln(1+y^2))/(|x|+|y|)) ,( 0 ):} $

$ se (x,y)!= (0,0) $ nel primo caso e $ se (x,y)= (0,0) $ nel secondo caso.

a) Stabilire se f è continua in (0;0);
b) Stabilire se f è differenziabile in (0;0);

es.2
$ f(x,y)={ ((y^2(e^(x-1)-1))/(x^2+y^2-2x+1)) ,( 0 ):} $

$ se (x,y)!= (1,0) $ nel primo caso e $ se (x,y)= (1,0) $ nel secondo caso.

a) Stabilire se f è continua in (1;0);
b) Stabilire se f è differenziabile in (1;0);

Ultimo quesito: se invece chiede di stabilire se è prolungabile per continuità in tale punto?
Grazie

[gillious]

Ovviamente per "tale punto" intendo (0,0) per il primo esercizio e (1,0) per il secondo. Grazie

[Brancaleone1]

Ciao Gab090 e benvenuto.
Secondo il regolamento dovresti postare un tuo tentativo di risoluzione prima di ricevere risposta, ma per stavolta transeat - anche perché appena iscritto sai già scrivere le formule, e non è poco

Per il primo esercizio: come si controlla la continuità in un punto? Semplice: si controlla il limite per tale punto, ossia:

$lim_((x,y)->(0,0)) ((e^x-1)ln(1+y^2))/(|x|+|y|)$

Per funzioni a due variabili si impiegano le coordinate polari - vedi anche qui - quindi il limite lo puoi riscrivere così:

$lim_(rho->0^+)([e^(rho cos(theta))-1]ln[1+rho^2sin^2(theta)])/(|rhocos(theta)|+|rhosin(theta)|)=([e^(rho cos(theta))-1]ln[1+rho^2sin^2(theta)])/(rho(|cos(theta)|+|sin(theta)|))$

Questo limite è uniforme e vale $0$ (perché?), quindi la funzione è continua perché è lo stesso valore che la funzione assume per $(x,y)=(0,0)$

Secondo quesito: come si controlla la differenziabilità in un punto? Prima di tutto la funzione deve essere continua (perché se non lo fosse la funzione non può sicuramente essere differenziabile: viceversa, se una funzione non è differenziabile non è detto che non sia continua), e abbiamo appurato che lo è.

Una funzione è differenziabile in un punto $(x_0,y_0)$ se e solo se:

$lim_((h,k)->(x_0,y_0))(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0, y_0)-(x-x_0)(partial f)/(partial x) (x_0,y_0)-(y-y_0)(partial f)/(partial y)(x_0,y_0))/sqrt(h^2+k^2)=0$

Nel nostro caso, poiché $(x_0,y_0)=(0,0)$, la formula diventa:

$lim_((h,k)->(0,0))(f(h,k)-f(0,0)-h(partial f)/(partial x) (0,0)-k(partial f)/(partial y) (0,0))/ sqrt(h^2+k^2) = 0$

Dobbiamo quindi calcolarci le derivate parziali in $(0,0)$:

$(partial f)/(partial x)(x,y)=(e^x ln(1+y^2) cdot (|x|+|y|)-|x|/x cdot [(e^x-1) ln(1+y^2)])/(|x|+|y|)^2$

$(partial f)/(partial y)(x,y)=((e^x-1)(2y)/(y^2+1) cdot (|x|+|y|) - |y|/y cdot [(e^x-1) ln(1+y^2)])/(|x|+|y|)^2$

Ora vai avanti tu: quanto valgono le derivate parziali in $(0,0)$?

EDIT: corretto orrore sulla differenziabilità

[gillious]

Hai ragione Brancaleone, cerco di farmi perdonare postando l'esercizio che ho svolto Sicuramente ci saranno errori, ti prego di correggermi.

Come prima cosa ho cercato di semplificare utilizzando due limiti notevoli (che valgono 1):
$ lim_((x,y) -> (0,0)) ((e^x-1)ln(1+y^2))/(|x|+|y|)= lim_((x,y) -> (0,0)) (e^x-1)/xln(1+y^2)/y^2(xy^2)/(|x|+|y|)= $

Dopodiché mi sono messo sulla restrizione x=y
$ lim_((y,y) -> (0,0)) y^3/(|y|+|y|)=lim_((y,y) -> (0,0)) y^2/2=0 $
quindi se esiste il limite vale 0

A questo punto sono passato alle coordinate polari e sostituendo:
$ |(rho cosvartheta rho ^2sin^2vartheta )/(|rho cosvartheta|+|rho sinvartheta|)-0 |=|(rho^2 cosvartheta sin^2vartheta )/(|cosvartheta|+|sinvartheta|)|<= rho ^2/alpha rarr 0 $ per $ rho rarr 0 $ dove $ alpha > 0 $tale che$ |cosvartheta |+|sinvartheta |> alpha $

[gillious]

Posso quindi dire che f è continua in (0,0)
Per quanto riguarda la differenziabilità ho impostato il limite e poi sono andato a calcolare le derivate parziali in (0,0) utilizzando il limite del rapporto incrementale ed entrambe valgono 0. Sostituisco nel limite:

$lim_((x,y) -> (0,0)) (e^x-1)/xln(1+y^2)/y^2(xy^2)/(|x|+|y|)1/sqrt(x^2+y^2)$

Mi metto sulla restrizione y=x e sostituendo ottengo:

$ lim_((x,x) -> (0,0)) x^3/((|x|+|x|)sqrt(x^2+x^2))=lim_((x,x) -> (0,0)) x^3/((2|x|)|x|sqrt(2))=0 $

quindi se esiste il limite vale 0.
Passo nuovamente alle coordinate polari e ottengo:

$ |(rho cosvartheta rho ^2sin^2vartheta )/(|rho cosvartheta|+|rho sinvartheta|sqrt(rho^2cos^2vartheta+rho ^2sin^2vartheta))-0 |= $ $ |(rho^3sin^2vartheta cosvartheta )/(rho^2(|cosvartheta|+|sinvartheta|))-0 |<= rho/alphararr 0 $ per $ rhorarr 0 $

Posso quindi affermare che f è anche differenziabile in (0,0)

Ho fatto qualche errore? Grazie per l'aiuto

[Brancaleone1]

Mi pare non ci siano problemi: la funzione è sia continua che differenziabile in $(0,0)$

Che mi sai dire della seconda funzione?

[gillious]

Ecco sulla seconda funzione ho qualche difficoltà in più, nel senso che non so come comportarmi nelle restrizioni avendo come intervallo (0,1). Ho provato utilizzando la sostituzione in coordinate polari:

$ lim_((x,y) -> (1,0))(y^2(e^(x-1)-1))/(x^2+y^2-2x+1)=lim_(rho -> 0)(rho^2sin^2vartheta(e^(rhocosvartheta-1)-1))/(rho^2-2rhocosvartheta+1) $

ma arrivato a questo punto non riesco ad andare avanti. Sapete consigliarmi o mostrarmi come proseguire?
Grazie

[Brancaleone1]

Scusa ma il punto è $(1,0)$ oppure $(0,1)$?

[gillious]

Scusa ho sbagliato a digitare, comunque (1,0)

[Brancaleone1]

Attento, hai dimenticato $x_0(=1)$ nella sostituzione $x=x_0+rho cos(theta)=1+rhocos(theta)$.
Il limite è:

$ lim_((x,y) -> (1,0)) (y^2(e^(x-1)-1))/(x^2+y^2-2x+1)=lim_(rho->0^+) (rho^2 sin^2(theta)[e^(1+rho cos(theta)-1)-1])/(1+rho^2cos^2(theta)+2rhocos(theta)+rho^2sin^2(theta)-2-2rhocos(theta)+1)=$

$=sin^2(theta)[e^(rhocos(theta))-1]$

[gillious]

Caspita che distrazione, grazie! Provo a continuare:

$ |sin^2vartheta(e^(rhocosvartheta)-1)|<= e^(rho-1)rarr 0 $ per $ rhorarr 0^+ $
quindi f è continua in (1,0)

Studio ora la differenziabilità in (1,0):
$ lim_((x,y) -> (1,0))(f(x,y)-f(1,0)-gradf(1,0)(x-1;y))/sqrt((x-1)^2+y^2)=0 $

Passo in coordinate polari:
$ sin^2vartheta(e^(rhocosvartheta)-1)1/(rho^2cos^2vartheta+rho^2sin^2vartheta)=sin^2vartheta(e^(rhocosvartheta)-1)1/(rho)= $

e qui non riesco a continuare perché verrebbe $ 0/0 $

[Brancaleone1]

"Gab090":
$ |sin^2vartheta(e^(rhocosvartheta)-1)|<= e^(rho-1)rarr 0 $ per $ rhorarr 0^+ $
quindi f è continua in (1,0)

In realtà è:

$lim_(rho->0^+)sin^2vartheta(e^(rhocosvartheta)-1)<=e^rho-1=0$

"Gab090":Studio ora la differenziabilità in (1,0):
$ lim_((x,y) -> (1,0))(f(x,y)-f(1,0)-gradf(1,0)(x-1;y))/sqrt((x-1)^2+y^2)=0 $

[...]

...ma le derivate parziali in $(1,0)$ quanto valgono? - senza contare che la formula di differenziabilità così come l'hai scritta è sbagliata: al denominatore ad esempio non compare il punto $x_0$ in esame.

[gillious]

C'è qualcosa che non mi torna rispetto alla definizione dell'espressione che ci ha dato il prof in facoltà:

$ lim_((x,y) -> (x_0,y_0))(f(x,y)-f(x_0,y_0)-grad f(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0))/sqrt((x-x_0)^2+(y+y_0)^2) $

[Brancaleone1]

Ah perché tu non usi gli incrementi $h$ e $k$, ma rimani con le variabili: beh il concetto è lo stesso. Personalmente preferisco adottare gli incrementi:

$lim_((h,k)->(x_0,y_0))(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0, y_0)-h(partial f)/(partial x) (x_0,y_0)-k(partial f)/(partial y)(x_0,y_0))/sqrt(h^2+k^2)=0$

$||$

$lim_((h,k)->(x_0,y_0))(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0, y_0)-nabla(x_0,y_0)(h,k))/sqrt(h^2+k^2)=0$

Però ripeto: quanto valgono le derivate parziali in $(1,0)$? Ad esempio quanto vale $(partial f)/(partial x)(1,0)$?

[gillious]

Utilizzando il limite del rapporto incrementale ho:

$ f_x(1,0)=lim_(x -> 1) (f(x,0)-f(1,0))/(x-1)=0 $

$ f_y(1,0)=lim_(y -> 0) (f(1,y)-f(1,0))/(y)=(y^2(e^0-1))/(1+y^2-2+1)=(y^2(1-1))/y^3=+oo $ perché il numeratore ha ordine inferiore rispetto al denominatore

quindi non è differenziabile?

[Brancaleone1]

"Gab090":Utilizzando il limite del rapporto incrementale ho:

$ f_x(1,0)=lim_(x -> 1) (f(x,0)-f(1,0))/(x-1)=0 $

Non mi torna: puoi riportare i conti?

"Gab090":quindi non è differenziabile?

La derivata rispetto a $y$ non l'ho controllata.

Ad ogni modo, se anche una sola delle derivate parziali in quel punto non esiste, allora la funzione non è differenziabile perché se lo fosse esisterebbero delle derivate parziali ivi continue.