Continuità e derivabilità serie
Eccomi con un altro esercizio, questa volta il dubbio è di tipo concettuale
Ho questa serie: $\f(x)=sum_(n=1)^infty (-1)^n 1/n e^((x^2-3x+1)n)$
Ho ottenuto che è definita per $(3-sqrt(5))/2<=x<=(3+sqrt(5))/2$ estremi compresi.
Ora mi si chiede, in due domande diverse, per quali x essa è continua e per quali è derivabile.
Conosco il seguente teorema che può aiutarmi:
$f_n in C^0(a,b),S_n(x) in C^0(a,b), S_n$ converge uniformemente a $\S$ su $\(a,b) rightarrow S in C^0(a,b)$
Per la derivabilità credo che le condizioni siano le stesse e allora la derivata della serie è la serie delle derivate. Solo che gli intervalli di continuità e derivabilità sembrerebbero non essere uguali da come è posta la domanda...
Comunque, poichè mi serve la uniforme convergenza, provo a dimostrare che la serie converge totalmente (e quindi anche uniformemente):
$\|f_n(x)|=1/n e^((x^2-3x+1)n)$ omettendo il $\(-1)^n$ grazie al valore assoluto. Ora poichè $x<=(3+sqrt(5))/2$ ottengo $\|f_n(x)|<= 1/n$
Però $\sum_(n=1)^infty 1/n$ diverge e quindi non ho provato la totale convergenza perchè mi sono perso per strada il $\(-1)^n$ che invece per Leibniz me l'avrebbe fatta venire...non è però detto che non converga almeno uniformemente poichè totale$\rightarrow$ uniforme, non vi è il se e solo se.
Qualcuno ha qualche idea? Grazie anticipatamente!!
Ho questa serie: $\f(x)=sum_(n=1)^infty (-1)^n 1/n e^((x^2-3x+1)n)$
Ho ottenuto che è definita per $(3-sqrt(5))/2<=x<=(3+sqrt(5))/2$ estremi compresi.
Ora mi si chiede, in due domande diverse, per quali x essa è continua e per quali è derivabile.
Conosco il seguente teorema che può aiutarmi:
$f_n in C^0(a,b),S_n(x) in C^0(a,b), S_n$ converge uniformemente a $\S$ su $\(a,b) rightarrow S in C^0(a,b)$
Per la derivabilità credo che le condizioni siano le stesse e allora la derivata della serie è la serie delle derivate. Solo che gli intervalli di continuità e derivabilità sembrerebbero non essere uguali da come è posta la domanda...
Comunque, poichè mi serve la uniforme convergenza, provo a dimostrare che la serie converge totalmente (e quindi anche uniformemente):
$\|f_n(x)|=1/n e^((x^2-3x+1)n)$ omettendo il $\(-1)^n$ grazie al valore assoluto. Ora poichè $x<=(3+sqrt(5))/2$ ottengo $\|f_n(x)|<= 1/n$
Però $\sum_(n=1)^infty 1/n$ diverge e quindi non ho provato la totale convergenza perchè mi sono perso per strada il $\(-1)^n$ che invece per Leibniz me l'avrebbe fatta venire...non è però detto che non converga almeno uniformemente poichè totale$\rightarrow$ uniforme, non vi è il se e solo se.
Qualcuno ha qualche idea? Grazie anticipatamente!!
Risposte
Rinnovo la domanda!
Nessuno sa aiutarmi?
La serie è riconducibile ad una serie di potenze che converge totalmente in [tex]$]-1,1[$[/tex] ed uniformemente in ogni compatto contenuto in [tex]$]-1,1]$[/tex]; mentre la serie delle sue derivate converge totalmente ed uniformemente sui compatti solo in [tex]$]-1,1[$[/tex].
Ovviamente, il tipo di convergenza assicura che la somma della serie di potenze è continua in [tex]$]-1,1]$[/tex] e derivabile in [tex]$]-1,1[$[/tex]; dato che la funzione [tex]$e^{x^2-3x+1}$[/tex] è di classe [tex]$C^\infty$[/tex], la somma della serie assegnata è certamente continua nell'insieme di convergenza della serie, è derivabile nell'interno di tale insieme e la derivata non si prolunga sui punti di frontiera.
Inoltre, la somma della serie di potenze ausiliaria in questione è, ça va sans dire data la presenza di una serie armonica alternata, una funzione logaritmica; quindi l'esercizio si poteva risolvere senza troppi patemi anche senza l'aiuto della teoria.
Ovviamente, il tipo di convergenza assicura che la somma della serie di potenze è continua in [tex]$]-1,1]$[/tex] e derivabile in [tex]$]-1,1[$[/tex]; dato che la funzione [tex]$e^{x^2-3x+1}$[/tex] è di classe [tex]$C^\infty$[/tex], la somma della serie assegnata è certamente continua nell'insieme di convergenza della serie, è derivabile nell'interno di tale insieme e la derivata non si prolunga sui punti di frontiera.
Inoltre, la somma della serie di potenze ausiliaria in questione è, ça va sans dire data la presenza di una serie armonica alternata, una funzione logaritmica; quindi l'esercizio si poteva risolvere senza troppi patemi anche senza l'aiuto della teoria.
Quindi il succo del discorso è che posso basare tutto sulla serie di potenze ottenuta sostituendo $\e^(x^2-3x+1)=t$ e rigirare quanto provato sulla serie originale?
L'idea era proprio quella.
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