Continuità e derivabilità per un a

[LukeTek]

Data la funzione:

$y=(1/x^2)sin((a+2)x^3) per x\ne0$

$y=x^2 per x=0$

1)Per quali valiri di $a$ è continua in tutto $R$? Motivare.
2)Esistono valori di $a$ per i quali è derivabile in tutto $R$? Motivare.

Io ho pensato: 1) La funzione è continua in tutto $R$ essendo prodotto di funzioni continue...
2) Qua nn sapevo cosa fare, però ho pensato che è derivabile in tutto $R$ se il $\lim_{x->0} (1/x^2)sin((a+2)x^3)$ è uguale a $\lim_{x->0} x^2$...sbaglio? ed essendo il secondo limite =0, per far venire il primo uguale a 0 devo imporre $a$=-2

E' giusto?

[_prime_number]

E' un po' tutto sbagliato .
Per l'1) devi verificare che limite destro e sinistro per $x\to 0$ siano uguali a $f(0)=0^2 = 0$. Per il 2) fai la derivata della prima forma della funzione e poi controlla che sia continua in tutto l'asse reale, in modo uguale a 1) ma con la derivata.

Paola

[LukeTek]

"prime_number":E' un po' tutto sbagliato .
Per l'1) devi verificare che limite destro e sinistro per $x\to 0$ siano uguali a $f(0)=0^2 = 0$. Per il 2) fai la derivata della prima forma della funzione e poi controlla che sia continua in tutto l'asse reale, in modo uguale a 1) ma con la derivata.

Paola

XD lo sospettavo...quindi, la risposta alla 1 è per ogni $a$ la funzione è continua. La risposta alla 2, se ho fatto i conti giusti (la derivata viene $\frac{3(a+2)x^4cos((a+2)x^3)-2xsin((a+2)x^3)}{x^4}$, ne faccio il limite, asintoticizzo il seno e risulta $3a+2-2a-4=0$) è $a=2$. Corretto?