Continuità e derivabilità in un punto
Salve a tutti, vorrei sapere se sto procedendo nel modo corretto in questo esercizio:
Dire se la funzione \(\displaystyle f(x) = | xsinx - e^x x^5 | \) è continua in x = 0 e se è derivabile in x = 0.
Continuità:
Ho pensato che \(\displaystyle f( x ) \) è nella forma \(\displaystyle f( x ) = | g( x ) | \) con \(\displaystyle g( x ) = xsinx - e^x x^5 \) , ovvero possiamo scrivere \(\displaystyle f( x ) = g( x ) \) per \(\displaystyle g( x ) >= 0 \) e \(\displaystyle f( x ) = -g(x) \) per \(\displaystyle g( x ) < 0 \)
In ogni caso si ha che i limiti destro e sinistro in x = 0 per g( x ) e per -g( x ) sono uguali ( in particolare sono uguali a 0 ), allora indipendentemente dal segno di g( x ) possiamo dire che \(\displaystyle lim ( x -> 0^- ) f( x ) = lim ( x -> 0^+ ) f( x ) = 0 = f( 0 ) \) perciò f è continua in x = 0
Derivabilità
\(\displaystyle f( x ) \) è derivabile in x = 0 se e soltanto se esiste finito il limite \(\displaystyle lim ( h -> 0 ) (\frac{f( 0 + h ) - f( 0 )}{h}) \) , quel limite, svolgendolo e raccogliendo un | h | a numeratore viene uguale a 0, perciò esiste finito e quindi f è derivabile in x = 0
Giusto?
Dire se la funzione \(\displaystyle f(x) = | xsinx - e^x x^5 | \) è continua in x = 0 e se è derivabile in x = 0.
Continuità:
Ho pensato che \(\displaystyle f( x ) \) è nella forma \(\displaystyle f( x ) = | g( x ) | \) con \(\displaystyle g( x ) = xsinx - e^x x^5 \) , ovvero possiamo scrivere \(\displaystyle f( x ) = g( x ) \) per \(\displaystyle g( x ) >= 0 \) e \(\displaystyle f( x ) = -g(x) \) per \(\displaystyle g( x ) < 0 \)
In ogni caso si ha che i limiti destro e sinistro in x = 0 per g( x ) e per -g( x ) sono uguali ( in particolare sono uguali a 0 ), allora indipendentemente dal segno di g( x ) possiamo dire che \(\displaystyle lim ( x -> 0^- ) f( x ) = lim ( x -> 0^+ ) f( x ) = 0 = f( 0 ) \) perciò f è continua in x = 0
Derivabilità
\(\displaystyle f( x ) \) è derivabile in x = 0 se e soltanto se esiste finito il limite \(\displaystyle lim ( h -> 0 ) (\frac{f( 0 + h ) - f( 0 )}{h}) \) , quel limite, svolgendolo e raccogliendo un | h | a numeratore viene uguale a 0, perciò esiste finito e quindi f è derivabile in x = 0
Giusto?
Risposte
"jJjjJ":
Dire se la funzione \(\displaystyle f(x) = | xsinx - e^x x^5 | \) è continua in x = 0 e se è derivabile in x = 0.
Continuità:
Ho pensato che \(\displaystyle f( x ) \) è nella forma \(\displaystyle f( x ) = | g( x ) | \) con \(\displaystyle g( x ) = xsinx - e^x x^5 \) , ovvero possiamo scrivere \(\displaystyle f( x ) = g( x ) \) per \(\displaystyle g( x ) >= 0 \) e \(\displaystyle f( x ) = -g(x) \) per \(\displaystyle g( x ) < 0 \)
In ogni caso si ha che i limiti destro e sinistro in x = 0 per g( x ) e per -g( x ) sono uguali ( in particolare sono uguali a 0 ), allora indipendentemente dal segno di g( x ) possiamo dire che \(\displaystyle lim ( x -> 0^- ) f( x ) = lim ( x -> 0^+ ) f( x ) = 0 = f( 0 ) \) perciò f è continua in x = 0
A mio parere, inutilmente prolisso. $g(x)$ è continua perchè somma di prodotti di funzioni continue. Inoltre, se $g(x)$ è continua, anche $|g(x)|$ è continua. Sono teoremi che, tipicamente, si possono utilizzare senza curarsi della loro dimostrazione.
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