Continuità e Derivabilità di una funzione nel suo dominio

[Alvis1]

Salve a tutti,

il professore di analisi mi ha dato la seguente funzione: f(x)={x^2sen(1/x) se x!=0 e 0 se x=0} , della quale devo studiare continuità e derivabilità nel dominio.

Il mio ragionamento è stato il seguente:

a mio parere è continua su tutto R perchè il seno è definito per tutto R, tranne che per x=0 nel nostro caso, ma non ho problemi perchè per quel valore la funzione è definita e si annulla.
Successivamente ho trovato la derivata (per x!=0) che è equivale a f'(x)=2xsen(1/x)-cos(1/x); penso sia derivabile perchè non c'è nessun valore per la quale non esiste, diverso da quelli in cui non esiste la funzione di partenza; infatti non esiste per x=0, ma neanche la f(x) esiste per x=0.

Che ne dite del mio ragionamento?

[Seneca1]

Va bene il discorso sulla cotinuità... Per la derivabilità le cose non sono così tranquille come si potrebbe sperare. Devi usare questo teorema.

[Alvis1]

"Seneca":Va bene il discorso sulla cotinuità... Per la derivabilità le cose non sono così tranquille come si potrebbe sperare. Devi usare questo teorema.

Usando il teorema di Darboux devo quindi focalizzare l'attenzione sul punto 0 oppure su un punto generico del dominio per quanto riguarda la derivata destra e sinistra?

[Alvis1]

Nel punto 0, la funzione esiste ed anche la derivata pertanto è derivabile in quel punto