Continuità e derivabilità di una funzione definita a tratti

[MatteoLE1]

Salve gente , avrei bisogno di aiuto per una funzione definita a tratti in quanto non riesco a determinare il valore dei parametri " a " e " b" per i quali è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo [-2,2].
La situazione è la seguente :

ax^2+bx+1 per x<0
x^2+2x+1 per x>=0

Vi ringrazio anticipatamente.

[Noisemaker]

ben venuto! ti ricordo che dovresti prima di tutto imparare a scrivere le formule, e in secondo luogo cercare esporre almeno una bozza di soluzione, o almeno dove trovi difficoltà
\begin{align}
f(x):=\begin{cases} ax^2+bx+1, & \mbox{se }x<0 \\\\x^2+2x+1, & \mbox{se }x\ge0
\end{cases}
\end{align}

[MatteoLE1]

Si perdonami , ma ancora non sono pratico nell'immissione delle formule allora :

Ho calcolato il limite destro e sinistro tendenti a 0 , per determinare la continuità , il risultato è stato " 1 " per ambedue i limiti . Ho calcolato poi la derivata prima ed ho fatto la stessa cosa ricavandomi questa volta il parametro b = 2 . Ora però non riesco a trovarmi il parametro a , che dovrebbe valere 3.

[Noisemaker]

anzitutto ricorda il teorema di Rolle: Sia $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}.$ Se $f$ è continua in $[a,b],$ derivabile in $(a,b)$ e se è $f(a) = f(b),$ allora: $\exists c \in (a,b) : f'(c) = 0 $

allora la prima ipotesi per poterlo applicare è che la funzione sia continua in $[-2,2];$ poichè in $x=0\in[-2,2]$ la funzione ha un punto di "saldatura" bisogna anzitutto assicurarci che $f$ sia continua nel punto $x=0;$ essendo $f(0)=1,$ dovrò essere:
\begin{align} \lim_{x\to0^+} f(x)&=1 \quad\Leftrightarrow\quad \lim_{x\to0^+}x^2+2x+1=1\\
\lim_{x\to0^-} f(x)&=1\quad\Leftrightarrow\quad \lim_{x\to0^-} ax^2+bx+1=1
\end{align}
la fuznione risulta continua dunque un $x=0;$ per verificare la derivabilità in $0$ possiamo applicare la definizione di derivata:
\begin{align} \lim_{h\to0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}&=\lim_{h\to0^+} \frac{a(0+h)^2+b(0+h)+1-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^+} \frac{a h^2+bh}{h}\\
&=\lim_{h\to0^+} a h+b =b
\end{align}
\begin{align}
\lim_{h\to0^+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}&=\lim_{h\to0^+} \frac{(0+h)^2+2(0+h)+1-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^+} \frac{h^2+2h}{h}\\
&=\lim_{h\to0^+} h +2 =2
\end{align}
dunqie per la dericabilità devi avere $b=2;$ l'ultima ipotesi del teorema è che si abbia $f(a) = f(b)$, ovvero $f(-2) = f(2)$:
dunaue deve essere
\begin{align}
f(-2) =a(-2)^2+2(-2)+1 &=(2)^2+2(2)+1=f(2)\\
f(-2) =4a -3 &=9=f(2)\\
4a &=12\\
a &=3\\
\end{align}

[MatteoLE1]

Perfetto , ti ringrazio noise maker . !!