Continuità e derivabilità di una funzione al variare di parametri reali

[fenghuang]

Ciao a tutti, avrei un problema con il seguente esercizio, spero possiate chiarire il mio dubbio.

L'esercizio mi chiede di stabilire per quali a e b reali ho continuità e derivabilità su tutto $RR$

$g(x) = {(a +e^(1/x), x<0),(o, x=0),(sin(x^b)log(x+1),x>0):}$

per la continuità devo avere che

$\lim_{x \to \0+}g(x) = \lim_{x \to \0-}g(x) = g(0)$

svolgendo i limiti

$\lim_{x \to \0+} sin(x^b)log(x+1) = 0 $
$ \lim_{x \to \0-} a +e^(1/x) = a $

ottengo che la condizione per la continuità della mia funzione su tutto $RR$ è $a=0$.

Passando alla derivabilità, io uso il metodo che passa per il limite del rapporto incrementale

quindi, calcolando le derivate

$g'(x) = {(-(e^(1/x))/(x^2), x<0),(0,x=0),((sin(x^b))/(x+1)+b x^(b-1) log(x+1) cos(x^b), x>0):}$

da qui, devo avere che

$\lim_{x \to \0+}(g'(x) - g(0))/(x-0) = \lim_{x \to \0-} (g'(x) - g(0))/(x-0) $

e che sia un valore finito. quindi

$ \lim_{x \to \0-} (g'(x) - g(0))/(x-0) =\lim_{x \to \0-} -(e^(1/x))/(x^2) = 0$

$\lim_{x \to \0+}(g'(x) - g(0))/(x-0) =\lim_{x \to \0+} [(sin(x^b))/(x+1)+b x^(b-1) log(x+1) cos(x^b)]/x = \lim_{x \to \0+}(sin(x^b))/(x(x+1)) + b x^(b-2) log(x+1) cos(x^b)$

da qui non sono sicuro su come andare avanti. Per quanto riguarda la parte $(sin(x^b))/(x(x+1))$ essa va a più infinito(poichè seno è una funzione limitata) quindi mi viene da dire che il limite non sia mai finito. Però se sviluppo il $sin(x^b)$ ottengo $(x^b)/(x^2(1 +1/x)) = (x^b-2)/(1 +1/x)$ che può andare ad infinito, ma anche a zero no?

grazie in anticipo

[ciampax]

Ma se usi il rapporto incrementale che senso ha calcolare le derivate che sono già il limite del rapporto incrementale? Quello che devi verificare è che

$$\lim_{h\to 0^+}\frac{g(h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{g(h)-g(0)}{h}$$

Hai una visione un po' strana di cosa sia la derivabilità, sai?

[fenghuang]

hai ragione. ho scritto una boiata, si vede che non stavo pensando. grazie!