Continuità e derivabilità di una funzione.
E' la prima volta che entro in questa sezione del forum,premetto che non conosco la materia, se non qualche vaga nozione
risalente alla formazione scolastica superiore, pertanto non so neanche se è la sezione giusta dove porre l'argomento, in tal caso mi scuso.
Sfogliando il noto libro di divulgazione "che cos'è la matematica" di Richard Courant, si asserisce che la continuità è conseguenza della derivabilità, mi sono così posto la domanda se una funzione continua è sempre derivabile, e mi è venuto in mente la seguente funzione così definita :
$ y=x^2$ se $x<=0$ ed $y=x$ se $x>=0$ in questo semplice caso nel particolare punto dove la variabile $x$ è uguale a $0$, la funzione assume il valore $0$, e risulta essere evidentemente continua in tale punto, ma non derivabile, in quanto se non sbaglio, il limite sinistro del rapporto incrementale $delta_y/delta_x$ tende ad $0$ per $delta_x->0$, mentre il limite destro di tale rapporto tende ad $1$ per $delta_x->0$, pertanto non convergendo tali limiti, sinistro e destro, verso uno stesso valore la funzione non è derivabile nel punto $x=0$, quindi da questo semplice controesempio si deduce che la continuità di una funzione non implica necessariamente che essa sia derivabile in ogni suo punto, o mi sbaglio?
Mi scuso per l'eventuale banalità della domanda, e resto in attesa di una risposta.
Saluti!
risalente alla formazione scolastica superiore, pertanto non so neanche se è la sezione giusta dove porre l'argomento, in tal caso mi scuso.
Sfogliando il noto libro di divulgazione "che cos'è la matematica" di Richard Courant, si asserisce che la continuità è conseguenza della derivabilità, mi sono così posto la domanda se una funzione continua è sempre derivabile, e mi è venuto in mente la seguente funzione così definita :
$ y=x^2$ se $x<=0$ ed $y=x$ se $x>=0$ in questo semplice caso nel particolare punto dove la variabile $x$ è uguale a $0$, la funzione assume il valore $0$, e risulta essere evidentemente continua in tale punto, ma non derivabile, in quanto se non sbaglio, il limite sinistro del rapporto incrementale $delta_y/delta_x$ tende ad $0$ per $delta_x->0$, mentre il limite destro di tale rapporto tende ad $1$ per $delta_x->0$, pertanto non convergendo tali limiti, sinistro e destro, verso uno stesso valore la funzione non è derivabile nel punto $x=0$, quindi da questo semplice controesempio si deduce che la continuità di una funzione non implica necessariamente che essa sia derivabile in ogni suo punto, o mi sbaglio?
Mi scuso per l'eventuale banalità della domanda, e resto in attesa di una risposta.
Saluti!
Risposte
Tutto giusto! L'esempio tipico è $f(x)=|x|$, che moralmente è identico al tuo.
E' addirittura possibile (ma molto più difficile) costruire esempi di funzioni continue che non siano derivabili in nessun punto.
E' addirittura possibile (ma molto più difficile) costruire esempi di funzioni continue che non siano derivabili in nessun punto.
Grazie intanto per la risposta!
Sfogliando un libro se non ricordo male c'era un esercizio che pressapoco diceva di studiare la funzione così fatta:
$f(x)=1$ se $x$$inQ$ ed $f(x)=0$ se $x$$!in$$Q$ (non appartiene a $Q$), adesso se non ricordo male fissato un $x=x_0$$inQ$ e comunque preso un intorno di $x_0$ piccolo quanto si voglia dentro di esso cadono infiniti numeri razionali cioè $inQ$ ed infiniti irrrazionali cioè non appartenenti a $Q$, chiaramente $lim_ (x->x_0)$$f(x)=1$ se $x_0$$inQ$, quindi ivi continua in tale punto, ma evidentemente non derivabile in tale punto in quanto il rapporto incrementale al tendere di $deltax$ a $0$ assumerebbe alternativamente valori tendenti ad infinito ed uguali a $0$, quindi il limite di tale rapporto non esisterebbe e la funzione pertanto non risulterebbe ivi derivabile in $x_0$. Un discorso analogo si può fare anche se
prendo un $x=x_0$$!in$$Q$, pertanto questo non sarebbe un esempio di funzione continua in ogni suo punto ma ivi non derivabile? o mi sbaglio?
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!
Sfogliando un libro se non ricordo male c'era un esercizio che pressapoco diceva di studiare la funzione così fatta:
$f(x)=1$ se $x$$inQ$ ed $f(x)=0$ se $x$$!in$$Q$ (non appartiene a $Q$), adesso se non ricordo male fissato un $x=x_0$$inQ$ e comunque preso un intorno di $x_0$ piccolo quanto si voglia dentro di esso cadono infiniti numeri razionali cioè $inQ$ ed infiniti irrrazionali cioè non appartenenti a $Q$, chiaramente $lim_ (x->x_0)$$f(x)=1$ se $x_0$$inQ$, quindi ivi continua in tale punto, ma evidentemente non derivabile in tale punto in quanto il rapporto incrementale al tendere di $deltax$ a $0$ assumerebbe alternativamente valori tendenti ad infinito ed uguali a $0$, quindi il limite di tale rapporto non esisterebbe e la funzione pertanto non risulterebbe ivi derivabile in $x_0$. Un discorso analogo si può fare anche se
prendo un $x=x_0$$!in$$Q$, pertanto questo non sarebbe un esempio di funzione continua in ogni suo punto ma ivi non derivabile? o mi sbaglio?
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!
Quella funzione non è nemmeno continua! In nessun punto! Siccome come hai ben detto in ogni intorno di ogni punto (razionale o irrazionale in realtà) la funzione assume sia il valore $1$ che il valore $0$, il limite non esiste.
Tu come mai dici che $lim_(x->x_0)f(x)=1$ per $x_0inQQ$?
Tu come mai dici che $lim_(x->x_0)f(x)=1$ per $x_0inQQ$?
Ciao. Quella che proponi è la funzione di Dirichlet, ma ti sbagli: è non continua in ogni punto del suo dominio, quindi è ovviamente non derivabile.
La definizione di limite prevede che per ogni $x$ in un intorno $U(x_0)$ di $x_0 \in QQ$ sia $|f(x)-1|$ minore di $epsilon$ arbitrario positivo. In qualsiasi intorno $U(x_0)$ ci sono numeri razionali, per i quali è effettivamente $|f(x)-1|=0< \ epsilon$, ma ci sono anche infiniti irrazionali, per i quali $|f(x)-1|=1$ che non è minore di qualsiasi numero positivo.
Analogo discorso se $x_0$ fosse irrazionale.
Quindi non esiste limite di $f(x)$ per $x$ tendente a qualsiasi numero.
EDIT: scusa yellow, ho letto la tua risposta solo dopo aver inviato la mia...
La definizione di limite prevede che per ogni $x$ in un intorno $U(x_0)$ di $x_0 \in QQ$ sia $|f(x)-1|$ minore di $epsilon$ arbitrario positivo. In qualsiasi intorno $U(x_0)$ ci sono numeri razionali, per i quali è effettivamente $|f(x)-1|=0< \ epsilon$, ma ci sono anche infiniti irrazionali, per i quali $|f(x)-1|=1$ che non è minore di qualsiasi numero positivo.
Analogo discorso se $x_0$ fosse irrazionale.
Quindi non esiste limite di $f(x)$ per $x$ tendente a qualsiasi numero.
EDIT: scusa yellow, ho letto la tua risposta solo dopo aver inviato la mia...
Scusate, avete perfettamente ragione ho scritto un eresia infatti il limite di $f(x)$ per $x->x_0$ non esiste infatti
man mano che ci si approssima ad $x_0$ la funzione assume alternativamente il valore $0$ ed $1$, in quanto appunto come voi avete detto, all'interno di un intorno di $x_0$ cadono sia numeri razionali che irrazionali, pertanto la funzione
non è continua e tanto meno derivabile.
Mi ero fatto prendere dalla foga di trovare subito una funzione continua in ogni suo punto che però non fosse derivabile.
man mano che ci si approssima ad $x_0$ la funzione assume alternativamente il valore $0$ ed $1$, in quanto appunto come voi avete detto, all'interno di un intorno di $x_0$ cadono sia numeri razionali che irrazionali, pertanto la funzione
non è continua e tanto meno derivabile.
Mi ero fatto prendere dalla foga di trovare subito una funzione continua in ogni suo punto che però non fosse derivabile.
xPallit.
Molto interessante!
Di questa categoria di curva penso che faccia parte anche la curva di weierstrass, dovrebbe esserne in qualche modo la capostipite , questa curva che fu concepita da weierstrass per la prima volta, da quello che ho potuto leggere su internet
è ottenuta con un procedimento di iterazione, partendo da una spezzata con un numero finito di punti angolosi in un intervallo, si arriva suddividendo l'intervallo iniziale, in un numero di intervalli sempre più piccoli, fino a spingersi ad una suddivisione infinita, ad una curva in cui idealmente ogni suo punto è angoloso, quindi continua ma non derivabile in ogni suo punto.
Molto interessante!
Di questa categoria di curva penso che faccia parte anche la curva di weierstrass, dovrebbe esserne in qualche modo la capostipite , questa curva che fu concepita da weierstrass per la prima volta, da quello che ho potuto leggere su internet
è ottenuta con un procedimento di iterazione, partendo da una spezzata con un numero finito di punti angolosi in un intervallo, si arriva suddividendo l'intervallo iniziale, in un numero di intervalli sempre più piccoli, fino a spingersi ad una suddivisione infinita, ad una curva in cui idealmente ogni suo punto è angoloso, quindi continua ma non derivabile in ogni suo punto.
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