Continuità e derivabilità di una funzione
Ciao ragazzi , ho un'esercizio dove devo studiare continuità e derivabilità di una funzione, che è la seguente:
$ f(x)={ ((2^(x-2)-cos(sqrt(x-2)))/(4x-8) ;x>2 ),( 0 ; x=2 ),( |x+2|;x<2 ):} $
Trovo che è continua quando $x != 2 $ , in quanto nel punto $x=2$ il limite destro e il limite sinistro sono diversi.
Poi passo alla derivabilità , anche qui , è derivabile quando $x!= 2$ , nel punto $x=2$ non lo è in quanto non continua .
Poi però ,pensando di aver finito , la soluzione mi dice che non è derivabile neanche in $x=-2$, e lo dimostra facendo la derivata destra e sinistra nel punto -2. Come mai viene anche controllato il punto $x=-2$? Per via del modulo ? Grazie in anticipo
$ f(x)={ ((2^(x-2)-cos(sqrt(x-2)))/(4x-8) ;x>2 ),( 0 ; x=2 ),( |x+2|;x<2 ):} $
Trovo che è continua quando $x != 2 $ , in quanto nel punto $x=2$ il limite destro e il limite sinistro sono diversi.
Poi passo alla derivabilità , anche qui , è derivabile quando $x!= 2$ , nel punto $x=2$ non lo è in quanto non continua .
Poi però ,pensando di aver finito , la soluzione mi dice che non è derivabile neanche in $x=-2$, e lo dimostra facendo la derivata destra e sinistra nel punto -2. Come mai viene anche controllato il punto $x=-2$? Per via del modulo ? Grazie in anticipo
Risposte
Sì, viene dal fatto che il modulo non è derivabile quando il suo argomento si annulla.
Grazie mille!!!
Prego! Ci tengo a precisare che qui è dovuto al fatto che $|x+2|$ è "pulito", nel senso è solamente una funzione modulo composta con una traslazione del tipo $x \mapsto x+2$. Non è che se compare un modulo allora, automaticamente, una funzione non è derivabile nei punti in cui si annulla il modulo; bensì, potrebbe essere non derivabile nei punti in cui si annulla il modulo.
Ad esempio, se avessi avuto una cosa tipo $|x+2|\sin(x+2)$ per $x<2$, allora avresti dovuto calcolare il limite del rapporto incrementale in $x=-2$ per poter stabilire se $|x+2|\sin(x+2)$ è derivabile o no in $x=-2$ (spoiler: $|x+2|\sin(x+2)$ è derivabile in $x=-2$ nonostante ci sia $|x+2|$).
Ad esempio, se avessi avuto una cosa tipo $|x+2|\sin(x+2)$ per $x<2$, allora avresti dovuto calcolare il limite del rapporto incrementale in $x=-2$ per poter stabilire se $|x+2|\sin(x+2)$ è derivabile o no in $x=-2$ (spoiler: $|x+2|\sin(x+2)$ è derivabile in $x=-2$ nonostante ci sia $|x+2|$).
Penso di aver trovato un'altro esempio dove valga lo stesso discorso:
$ f(x)={ ( xe^(-x^2/2);x>=0 ),( sqrt(x^2-1^2);x<0 ):} $
La radice è cubica , non quadra , solo che non riesco a metterla con l'editor
Comunque , oltre al punto 0 , viene controllato anche il punto -1 , dove infatti risulta non derivabile, giusto?
$ f(x)={ ( xe^(-x^2/2);x>=0 ),( sqrt(x^2-1^2);x<0 ):} $
La radice è cubica , non quadra , solo che non riesco a metterla con l'editor
Comunque , oltre al punto 0 , viene controllato anche il punto -1 , dove infatti risulta non derivabile, giusto?
Ciao Biagio2580,
$\root[3]{x^2 - 1^2} $
La funzione definita per casi proposta ha un punto di discontinuità in $x_0 = 0 $, mentre si ha $f(- 1) = 0 $ e nel punto $ x_{- 1} = - 1 < 0 $ la funzione presenta un flesso con tangente verticale.
"Biagio2580":
La radice è cubica , non quadra , solo che non riesco a metterla con l'editor
$\root[3]{x^2 - 1^2} $
$\root[3]{x^2 - 1^2} $
La funzione definita per casi proposta ha un punto di discontinuità in $x_0 = 0 $, mentre si ha $f(- 1) = 0 $ e nel punto $ x_{- 1} = - 1 < 0 $ la funzione presenta un flesso con tangente verticale.
Grazie anche a te pilloeffe!!!!
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