Continuità e derivabilità di una funzione

[sam17091]

Ciao a tutti, durante lo studio di funzione mi chiedono di studiare la continuità e la derivabilità (dopo aver trovato il dominio della funzione, i limiti agli estremi del dominio e gli asintoti). La funzione è:
$ f(x)=(x-1)log(|x-1|)+xlogx $

la mia domanda é: come faccio a capire se una funzione è continua o dove posso prolungarla per continuità?
Inoltre come faccio a vedere quali sono i punti di non derivabilità?

Grazie

[Oznerol.92]

Intanto trovi il dominio:
\(\displaystyle D(f)= (0,1) \cup (1, + \infty) \)
Poi la continuità nel dominio la deduci applicando le seguenti regole elementari:
1) la somma di funzioni continue è continua
2) il prodotto di funzioni continue è continuo
3) la composizione di funzioni continue è continua
Da ció verifichi la continuità di \(\displaystyle f \) nel suo dominio. Per studiare l'esistenza di prolungamenti continui devi calcolare i limiti di \(\displaystyle f \) agli estremi del dominio, che in questo caso sono \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \).
In questo caso hai che puoi prolungare con continuità \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle 0 \) perché applicando un limite notevole hai che
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0 \)
Anche in \(\displaystyle x=1 \) hai una discontinuità eliminabile, perché i limiti destroe sinistro coincidono.
Per studiare la derivabilità hai che valgono le regole 1, 2 e 3 sostituendo "continua" con "derivabile". Quindi \(\displaystyle f \) è derivabile in \(\displaystyle (0,1) \cup (1, + \infty) \).
La domanda ora è: se prolungo \(\displaystyle f \) in\(\displaystyle [0,+\infty) \), tale prolungamento è derivabile in \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \)?
Quindi devi ricavarti \(\displaystyle f'(x) \) e calcolarne i limiti in \(\displaystyle x=0 \) e \(\displaystyle x=1 \).