Continuità e Derivabilità di una funzione
Salve ragazzi ho un problema con questo esercizio:
data una funzione
$g:]0, +inf[ ->R $tale che
$g(x) = k$ per $x = e$
$g(x) = e^(-1/|log(x)-1|) $per $ x !=e $
devo determinare K affinchè la funzione sia continua nel suo dominio di definizione e inoltre dire per quel valore di K se è anche derivabile.
io ho provato a fare il $ lim x ->e $ di $g(x) $ a destra e sinistra e mi risulta sempre uguale a 0.
é già sufficiente questo per la continuità? cos altro devo fare per definire K?
data una funzione
$g:]0, +inf[ ->R $tale che
$g(x) = k$ per $x = e$
$g(x) = e^(-1/|log(x)-1|) $per $ x !=e $
devo determinare K affinchè la funzione sia continua nel suo dominio di definizione e inoltre dire per quel valore di K se è anche derivabile.
io ho provato a fare il $ lim x ->e $ di $g(x) $ a destra e sinistra e mi risulta sempre uguale a 0.
é già sufficiente questo per la continuità? cos altro devo fare per definire K?
Risposte
Ciao Steve.
Una cosa: sforzati a scrivere in formule, sarà più facile invogliare qualcuno a risponderti.
Per quanto riguarda la tua domanda: sì, basta imporre $k$ con il valore del limite.
Una cosa: sforzati a scrivere in formule, sarà più facile invogliare qualcuno a risponderti.
Per quanto riguarda la tua domanda: sì, basta imporre $k$ con il valore del limite.
"Brancaleone":
Ciao Steve.
Una cosa: sforzati a scrivere in formule, sarà più facile invogliare qualcuno a risponderti.
Per quanto riguarda la tua domanda: sì, basta imporre $k$ con il valore del limite.
Si ho modificato scusa
Quindi alla fine basta dire che per $ K=0 $ la funzione è anche derivabile?
No,
per vedere se è anche derivabile in $e$ hai bisogno di calcolarti il limite del rapporto incrementale. Se questo limite esiste ed è finito, allora la funzione è derivabile:
$\lim_{h \to 0} \frac{g(e+h)-g(e)}{h}$
facendo attenzione che ora $g(e)=0$.
per vedere se è anche derivabile in $e$ hai bisogno di calcolarti il limite del rapporto incrementale. Se questo limite esiste ed è finito, allora la funzione è derivabile:
$\lim_{h \to 0} \frac{g(e+h)-g(e)}{h}$
facendo attenzione che ora $g(e)=0$.
se faccio $ lim x->x0$ di $ (f(x)-f(x0))/(x-x0) $ con $x0 = e $ , mi risulta uguale a 0 il limite..quindi è corretto?
p.s. uso quell'altra scrittura per il rapporto incrementale
p.s. uso quell'altra scrittura per il rapporto incrementale
Sì, è corretto. Se il limite è 0 è derivabile.
"Newdementia":
Se il limite è 0 è derivabile.
Sono sicuro che Newdementia intendesse affermare che è derivabile perché il limite è finito - così come l'ha detta sembra una condizione necessaria che in realtà non è.
Certamente, infatti ho scritto prima che basta che il limite sia finito.
Se fossimo stati su un forum di scrittura mi avrebbero anche detto che la frase è semanticamente scorretta, perché così come è scritta è monca del secondo soggetto.
Per far dormire sonni sereni a matematici, letterati e burocrati, riscrivo la frase:
"il limite è 0. 0 è un numero finito, dunque la funzione è derivabile."
Se fossimo stati su un forum di scrittura mi avrebbero anche detto che la frase è semanticamente scorretta, perché così come è scritta è monca del secondo soggetto.
Per far dormire sonni sereni a matematici, letterati e burocrati, riscrivo la frase:
"il limite è 0. 0 è un numero finito, dunque la funzione è derivabile."
[ot]@Newdementia: mi spiace che ti sia piccato (per un nonnulla tra l'altro), la mia non voleva essere una critica.[/ot]
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