Continuità e Derivabilità di una funzione

roberto.biccario
Salve ragazzi ho un problema con questo esercizio:
data una funzione
$g:]0, +inf[ ->R $tale che
$g(x) = k$ per $x = e$
$g(x) = e^(-1/|log(x)-1|) $per $ x !=e $

devo determinare K affinchè la funzione sia continua nel suo dominio di definizione e inoltre dire per quel valore di K se è anche derivabile.

io ho provato a fare il $ lim x ->e $ di $g(x) $ a destra e sinistra e mi risulta sempre uguale a 0.
é già sufficiente questo per la continuità? cos altro devo fare per definire K?

Risposte
Brancaleone1
Ciao Steve.
Una cosa: sforzati a scrivere in formule, sarà più facile invogliare qualcuno a risponderti.
Per quanto riguarda la tua domanda: sì, basta imporre $k$ con il valore del limite.

roberto.biccario
"Brancaleone":
Ciao Steve.
Una cosa: sforzati a scrivere in formule, sarà più facile invogliare qualcuno a risponderti.
Per quanto riguarda la tua domanda: sì, basta imporre $k$ con il valore del limite.


Si ho modificato scusa :)
Quindi alla fine basta dire che per $ K=0 $ la funzione è anche derivabile?

marysax90
No,
per vedere se è anche derivabile in $e$ hai bisogno di calcolarti il limite del rapporto incrementale. Se questo limite esiste ed è finito, allora la funzione è derivabile:

$\lim_{h \to 0} \frac{g(e+h)-g(e)}{h}$

facendo attenzione che ora $g(e)=0$.

roberto.biccario
se faccio $ lim x->x0$ di $ (f(x)-f(x0))/(x-x0) $ con $x0 = e $ , mi risulta uguale a 0 il limite..quindi è corretto?
p.s. uso quell'altra scrittura per il rapporto incrementale

marysax90
Sì, è corretto. Se il limite è 0 è derivabile.

Brancaleone1
"Newdementia":
Se il limite è 0 è derivabile.

Sono sicuro che Newdementia intendesse affermare che è derivabile perché il limite è finito - così come l'ha detta sembra una condizione necessaria che in realtà non è. :wink:

marysax90
Certamente, infatti ho scritto prima che basta che il limite sia finito.
Se fossimo stati su un forum di scrittura mi avrebbero anche detto che la frase è semanticamente scorretta, perché così come è scritta è monca del secondo soggetto.
Per far dormire sonni sereni a matematici, letterati e burocrati, riscrivo la frase:

"il limite è 0. 0 è un numero finito, dunque la funzione è derivabile."

Brancaleone1
[ot]@Newdementia: mi spiace che ti sia piccato (per un nonnulla tra l'altro), la mia non voleva essere una critica.[/ot]

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