Continuità e derivabilità della funzione log(|x|) nel suo dominio!

[FemtoGinny]

Salve ragazzi! La traccia iniziale di un esercizio mi chiede di "studiare la derivabilità della funzione log(|x|) nel suo dominio e calcolarne la derivata" Io ho risolto concludendo che la funzione è derivabile nel suo dominio in quanto composizione di funzioni derivabili (escludendo lo 0 che però è non è compreso nel dominio) e facendone la derivata $ f'(x)=1/x $.
Poi l'esercizio continua "sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo, studiare continuità e derivabilità della funzione log(|f(x)|) nel suo dominio naturale e calcolarne la derivata".
La mia difficoltà principale sta nella richiesta di calcolare derivabilità e continuità "nel dominio"..se fosse stato in un punto ben specificato, avrei saputo come agire, ma in questo caso qual'è il procedimento? E, le conclusioni che ho tratto nella prima parte dell'esercizio sono corrette? Grazie in anticipo ^^

[donald_zeka]

Nella prima parte mi sembra tutto giusto, il dominio della funzione è $x!=0$ e la funzione è continua e derivabile nel suo dominio. Nel secondo caso, $ln(|f(x)|)$ ha come dominio $f(x)!=0$, inoltre f(x) essendo derivabile in un intervallo è anche continua in questo intervallo, pertanto anche $|f(x)|$ è continua in questo intervallo, pertanto $ln(|f(x)|)$ è continua nel proprio dominio essendo composizione di funzioni continue in quel dominio. La sua derivata vale $(D(|f(x)|))/|f(x)|$ che è continua nel dominio del logaritmo.

[FemtoGinny]

Grazie infinite! L'unico dubbio che mi rimane è su come hai calcolato la derivata... io pensavo che siccome è una funzione composta il procedimento fosse $ f'(x)=1/|f(x)|*|(fx)|/f(x)=1/f(x) $ dov'è che sbaglio?

[donald_zeka]

La derivata di $f(g(x))$ è $f'(g(x))g'(x)$, nel tuo caso quindi la derivata di $ln(|f(x)|)$ è $1/(|f(x)|)*D(|f(x)|)$ dove $1/(|f(x)|)$ è la derivata del logaritmo e $D(|f(x)|)$ è la derivata dell'argomento del logaritmo, ossia $|f(x)|$

[FemtoGinny]

Capito! Però nel calcolo i due valori assoluti si annullano e il risultato finale è $ 1/f(x) $ confermato?

[donald_zeka]

Tu sai quanto vale la derivata di $f(x)$? Forse non ti è chiaro cosa significhi quel $D(|f(x)|)$

[FemtoGinny]

No, so soltanto che è una funzione generale.
$ D(|f(x)|) $ indica la derivata del valore assoluto del modulo di $ f(x) $ giusto?
Per questo pensavo il mio calcolo fosse giusto, essendo in genere la derivata del valore assoluto $ |x|=|x|/x $ quindi $ |f(x)|=|f(x)|/f(x) $
P.s. grazie per la pazienza

[donald_zeka]

Si, però quello vale solo per la funzione $y=x$, in generale per una qualsiasi funzione f(x) vale $D(|f(x)|)=|f(x)|/(f(x))*f'(x)$, quindi sostituendo questo valore nella derivata del logaritmo si ottiene:

$1/(|f(x)|)*|f(x)|/(f(x))*f'(x)=(f'(x))/f(x)$ che ha il pregio di non avere i valori assoluti, ma non cambia in sostanza nulla, dato che sia prima che ora il logaritmo risulta derivabile.

[FemtoGinny]

Giusto! Avevo fatto un sacco di confusione grazie!