Continuità e derivabilità del flusso magnetico φ = AB • cosθ
Buon pomeriggio,
Ho bisogno di aiuto riguardo a un elaborato di fisica-matematica sulla continuità e derivabilità del flusso magnetico:
Φ = AB • cosθ
Io ho pensato di utilizzare il teorema che dice:
“ se una funzione è derivabile nel punto Xo allora è necessariamente continua in Xo”
Risparmio la dimostrazione del limite del rapporto incrementale perché sono nuova e non so come scrivere tutto il procedimento secondo la guida delle formule.
Quindi, come dicevo, penso che si può utilizzare il limite del rapporto incrementale facendo appunto la derivata destra e derivata sinistra e quindi se i due limiti coincido significa che la suddetta relazione del flusso magnetico è continua e derivabile in quel punto.
Inoltro so che la derivata del cosθ è - senθ giusto? Però non so mi confondo non riesco ad applicarla perché ci sono anche le lettere A e B che sono appunto delle costanti credo quindi mi aiutate a svolgerlo per favore?
Ho bisogno di aiuto riguardo a un elaborato di fisica-matematica sulla continuità e derivabilità del flusso magnetico:
Φ = AB • cosθ
Io ho pensato di utilizzare il teorema che dice:
“ se una funzione è derivabile nel punto Xo allora è necessariamente continua in Xo”
Risparmio la dimostrazione del limite del rapporto incrementale perché sono nuova e non so come scrivere tutto il procedimento secondo la guida delle formule.
Quindi, come dicevo, penso che si può utilizzare il limite del rapporto incrementale facendo appunto la derivata destra e derivata sinistra e quindi se i due limiti coincido significa che la suddetta relazione del flusso magnetico è continua e derivabile in quel punto.
Inoltro so che la derivata del cosθ è - senθ giusto? Però non so mi confondo non riesco ad applicarla perché ci sono anche le lettere A e B che sono appunto delle costanti credo quindi mi aiutate a svolgerlo per favore?
Risposte
Ciao SilvyF,
Onestamente non capisco quale sia il problema: se la derivata è fatta rispetto a $\theta$ la funzione $\Phi = \Phi(\theta) = AB cos\theta $ è ovviamente continua e derivabile in quanto prodotto di costanti e di una funzione continua e derivabile come $cos\theta $:
$("d"\Phi)/("d"\theta) = - A B sin\theta $
Onestamente non capisco quale sia il problema: se la derivata è fatta rispetto a $\theta$ la funzione $\Phi = \Phi(\theta) = AB cos\theta $ è ovviamente continua e derivabile in quanto prodotto di costanti e di una funzione continua e derivabile come $cos\theta $:
$("d"\Phi)/("d"\theta) = - A B sin\theta $
Quindi nell’elaborato scrivo così, non devo svolgere il rapporto incrementale?
Non ne vedo l'utilità... 
La funzione coseno dovresti conoscerla e sapere anche che è continua e derivabile.
La funzione coseno dovresti conoscerla e sapere anche che è continua e derivabile.
Si infatti si lo so sia la funzione coseno sia seno sono continue e derivabili solo che con una relazione fisica pensavo si facesse il rapporto incrementale come di solito si fa in matematica.
Piuttosto, sicura che invece non si faccia riferimento alla legge di Faraday-Lenz-Neumann?
$\Delta V = - (\del)/(\del t) \Phi_S (\mathbf B) $
dove il flusso magnetico è dato dall'integrale di superficie:
$\Phi_S (\mathbf B) = \int_{S(t)} \mathbf B(\mathbf r, t) \text{d} \mathbf A $
con $ \text{d} \mathbf {A} $ elemento dell'area della superficie $S(t) $ attraverso la quale viene calcolato il flusso.
$\Delta V = - (\del)/(\del t) \Phi_S (\mathbf B) $
dove il flusso magnetico è dato dall'integrale di superficie:
$\Phi_S (\mathbf B) = \int_{S(t)} \mathbf B(\mathbf r, t) \text{d} \mathbf A $
con $ \text{d} \mathbf {A} $ elemento dell'area della superficie $S(t) $ attraverso la quale viene calcolato il flusso.
E anche su questo ho dei dubbi
Ora ho visto bene in pratica devo dimostrare che è derivabile e continua la funzione
$f(x)= BS * cos t^2 - 2t$ al tempo $t = 5s $
Il prof ha detto di mettere al posto di $B$ ed $S$ valori a caso io metto che $B = 5$ e $S = 10$
Dunque sostituendo la relazione diventa:
$f(x) = 5*10*cost^2 - 2t = 50*cost^2 - 2t$ e quindi devo a questo punto fare il limite destro e sinistro della derivata per vedere se è derivabile e continua:
$f’(x) = -100t*sin(t^2 -2)$
$lim_(t—-> 5^+) -100t*sin(t^2 - 2) = -200$
$lim_(t—-> 5^-) - 100t*sin(t^2 - 2) = -200$
(avrò sicuramente sbagliato, ahimè)
Quindi la funzione è derivabile ed è continua.
Ora a questo punto non so come impostare il grafico il tempo devo metterlo nelle ordinate penso, il flusso dovrebbe avere un andamento cosinusoide, giusto?
$f(x)= BS * cos t^2 - 2t$ al tempo $t = 5s $
Il prof ha detto di mettere al posto di $B$ ed $S$ valori a caso io metto che $B = 5$ e $S = 10$
Dunque sostituendo la relazione diventa:
$f(x) = 5*10*cost^2 - 2t = 50*cost^2 - 2t$ e quindi devo a questo punto fare il limite destro e sinistro della derivata per vedere se è derivabile e continua:
$f’(x) = -100t*sin(t^2 -2)$
$lim_(t—-> 5^+) -100t*sin(t^2 - 2) = -200$
$lim_(t—-> 5^-) - 100t*sin(t^2 - 2) = -200$
(avrò sicuramente sbagliato, ahimè)
Quindi la funzione è derivabile ed è continua.
Ora a questo punto non so come impostare il grafico il tempo devo metterlo nelle ordinate penso, il flusso dovrebbe avere un andamento cosinusoide, giusto?
A parte che è $f(t) $ e non $f(x) $, $f(t) $ è continua e derivabile in quanto composizione di funzioni continue e derivabili. Non si capisce se è $f(t) = 50 cos t^2 - 2t $ come hai scritto all'inizio o $f(t) = 50 cos(t^2 - 2t) $. Non serve che ti calcoli il limite destro e sinistro per $t \to t_0 = 5s $ del rapporto incrementale (mentre tu hai fatto il limite destro e sinistro per $t \to t_0 $ della derivata) perché ovviamente sono uguali: sì, sono errati.
Il grafico della funzione $f(t) = 50 cos t^2 - 2t $ o $f(t) = 50 cos(t^2 - 2t) $ (consiglierei di mettere $t$ in ascissa ed il flusso $f$ in ordinata) non è semplicissimo, ma neanche poi così complicato...
Il grafico della funzione $f(t) = 50 cos t^2 - 2t $ o $f(t) = 50 cos(t^2 - 2t) $ (consiglierei di mettere $t$ in ascissa ed il flusso $f$ in ordinata) non è semplicissimo, ma neanche poi così complicato...
Si era $f(t) = 50*cos t^2 - 2t$
Comunque, non so il prof ha detto di dimostrare che è derivabile e continua ecco perché ho pensato di fare il limite destro e sinistro, perché se coincidono vuol dire che la funzione è derivabile e continua, anche se già sapevo che senza fare nulla la funzione coseno è difatti derivabile e continua.
Per il grafico dato che $t = 5s$ so che il coseno ha un andamento cosinusoide che parte da 1 poi 0 e poi -1 e risale e si ripete, però in questo caso non so applicarlo.
Comunque, non so il prof ha detto di dimostrare che è derivabile e continua ecco perché ho pensato di fare il limite destro e sinistro, perché se coincidono vuol dire che la funzione è derivabile e continua, anche se già sapevo che senza fare nulla la funzione coseno è difatti derivabile e continua.
Per il grafico dato che $t = 5s$ so che il coseno ha un andamento cosinusoide che parte da 1 poi 0 e poi -1 e risale e si ripete, però in questo caso non so applicarlo.
"SilvyF":
ecco perché ho pensato di fare il limite destro e sinistro, perché se coincidono vuol dire che la funzione è derivabile e continua
D'accordo, ma non hai operato bene... La derivata è errata perché si ha:
$f(t) = 50cos t^2 - 2t \implies f'(t) = - 100 t sin(t^2) - 2 \implies f'(5) = - 500 sin(25) - 2$
Invece il limite del rapporto incrementale è il seguente:
$\lim_{t \to t_0} (f(t) - f(t_0))/(t - t_0) = \lim_{t \to 5} (50cos t^2 - 2t - f(5))/(t - 5) = \lim_{t \to 5} (50cos t^2 - 2t - 50 cos(25) + 10)/(t - 5) $
Quindi casomai, anche se mi pare piuttosto inutile, devi verificare che si ha:
$\lim_{t \to t_0^+} (f(t) - f(t_0))/(t - t_0) = \lim_{t \to t_0^-} (f(t) - f(t_0))/(t - t_0) $
ovvero, posto $h := t - t_0 $:
$\lim_{h \to 0^+} (f(t_0 + h) - f(t_0))/h = \lim_{h \to 0^-} (f(t_0 + h) - f(t_0))/h $
E si, in effetti poi eseguendo bene i passaggi sono arrivata anch'io alla stessa conclusione, ora ho solo difficoltà con il grafico, mettendo il t sulle ascisse e sulle ordinate il flusso non so come costruire la curva cosinusoide, perché penso che abbia questo andamento il flusso magnetico.
eseguendo il calcoli finali mi viene quindi $800 wb$ il flusso (non so se è corretto adesso)
quindi, il flusso parte dal valore 800 sulle ordinate con un andamento cosinusoide $(800, 0, - 800)$
quindi, il flusso parte dal valore 800 sulle ordinate con un andamento cosinusoide $(800, 0, - 800)$
Scusa, non capisco come possa risultarti $800 $ $Wb $
Se $f(t) = 50 cos(t^2) - 2t $, per $t = 5 s $ sarà sicuramente $f(5) < 50 $
Il grafico della funzione non è proprio una cosinusoide, c'è anche il $- 2t $ che influisce:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=50+cos%28t%5E2%29+-+2t
Se $f(t) = 50 cos(t^2) - 2t $, per $t = 5 s $ sarà sicuramente $f(5) < 50 $
Il grafico della funzione non è proprio una cosinusoide, c'è anche il $- 2t $ che influisce:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=50+cos%28t%5E2%29+-+2t
Si infatti avevo sbagliato a fare i calcoli, comunque viene $48$
Grazie mille per avermi aiutato
"SilvyF":
Grazie mille per avermi aiutato
Prego.
"SilvyF":
Si infatti avevo sbagliato a fare i calcoli, comunque viene $48$
Veramente a me risulta $f(5) = 50 cos(25) - 10 = 39,56 $
Non so ho fatto i calcoli con la calcolatrice e mi viene così: ho svolto $f(5) = 50*cos15$
Forse tu hai moltiplicato $50*cos(25) = 45,31$ e poi hai sottratto $-10$ che a me viene $35,31$
Forse tu hai moltiplicato $50*cos(25) = 45,31$ e poi hai sottratto $-10$ che a me viene $35,31$
No, è $f(t) = 50 cos t^2 - 2t $, non $ f(t) = 50 cos(t^2 - 2t) $
Si infatti anche se a me viene comunque un po’ diverso lo stesso: $35,31$
Questo perché io ho considerato l'argomento del coseno in radianti, mentre tu l'hai considerato in gradi...
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