Continuità e Derivabilità (con variabile)
Sono alle prese con uno nuovo problema..ecco qui la traccia
Si consideri la funzione definita
$ g(x) = 0 $ per $ x=0 $
$ g(x) = |x|^a arcsin (x) $ per $x=!0 $
Determinare i valori di $ a $ per i quali $ g(x) $ risulta continua in $ [-1 , 1 ] $ e quelli per cui risulta derivabile in $ ]-1 , 1[ $.
Per tali valori scrivere la derivata prima di $ g(x) $ e dire se $ g $ ammette un punto stazionario.
Io ho risolto così:
CONTINUITA' nel punto $ 0 $ di probabile discontinuità:
$lim_(x->0) |x|^a arcsin (x) $
questo limite ho visto che vale per $ a> -1 $ sempre $ 0 $ (sia a DESTRA che a SINISTRA!) e per $ a= -1 $ vale $-1 $ a sinistra e $ +1 $ a destra
Quindi in conclusione la funzione è continua per $ a > -1 $ ($ -1 $ non compreso )
ora passiamo alla DERIVABILITA':
qui ho qualche dubbio: mi è richiesta la derivabilità in $ ]-1 , 1[ $...i due estremi quindi non sono compresi e non posso utilizzarli per fare il limite dx e sx...ho fatto dunque il limite del rapporto incrementale in $0$ essendo cmq un punto chiave diciamo..
$lim_(x->0) (g(x) - g(x0))/(x-x0) $ = $|x|^a arcsin (x)/(x) $ = $|x|^a = 0 $ (sia a destra che a sinistra)
In questo caso il valore di $ a$ non è importante in quanto il limite vale sempre $0$, ma in altri casi che si faceva? (
) Diciamo quindi che la funzione $g(x)$ in $ 0 $ è derivabile..
Sino a questo punto l'esercizio può andare bene o ci sono (come credo) errori?
Si consideri la funzione definita
$ g(x) = 0 $ per $ x=0 $
$ g(x) = |x|^a arcsin (x) $ per $x=!0 $
Determinare i valori di $ a $ per i quali $ g(x) $ risulta continua in $ [-1 , 1 ] $ e quelli per cui risulta derivabile in $ ]-1 , 1[ $.
Per tali valori scrivere la derivata prima di $ g(x) $ e dire se $ g $ ammette un punto stazionario.
Io ho risolto così:
CONTINUITA' nel punto $ 0 $ di probabile discontinuità:
$lim_(x->0) |x|^a arcsin (x) $
questo limite ho visto che vale per $ a> -1 $ sempre $ 0 $ (sia a DESTRA che a SINISTRA!) e per $ a= -1 $ vale $-1 $ a sinistra e $ +1 $ a destra
Quindi in conclusione la funzione è continua per $ a > -1 $ ($ -1 $ non compreso )
ora passiamo alla DERIVABILITA':
qui ho qualche dubbio: mi è richiesta la derivabilità in $ ]-1 , 1[ $...i due estremi quindi non sono compresi e non posso utilizzarli per fare il limite dx e sx...ho fatto dunque il limite del rapporto incrementale in $0$ essendo cmq un punto chiave diciamo..
$lim_(x->0) (g(x) - g(x0))/(x-x0) $ = $|x|^a arcsin (x)/(x) $ = $|x|^a = 0 $ (sia a destra che a sinistra)
In questo caso il valore di $ a$ non è importante in quanto il limite vale sempre $0$, ma in altri casi che si faceva? (
) Diciamo quindi che la funzione $g(x)$ in $ 0 $ è derivabile..Sino a questo punto l'esercizio può andare bene o ci sono (come credo) errori?
Risposte
Hai ragionato correttamente, però si possono fare delle osservazioni.
Per prima cosa, avendo dimostrato che la funzione è continua per $\alpha> -1$, basta considerare questi valori per studiarne la derivabilità, in quanto con i valori del parametro per cui la funzione non è continua in $x=0$ automaticamente viene a cadere la derivabilità in tale punto.
Inoltre, la derivabilità si definisce all'interno dell'intervallo (su un aperto), per cui fare considerazioni nei punti di frontiera di esso non ha neanche senso. Come puoi osservare, infine, considerando il comportamento asintotico, il rapporto incrementale si comporta come la funzione $|x|^\alpha$ e si ha come limite
$$\lim_{x\to 0} |x|^\alpha=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \alpha>0\\
1 & & \alpha=0\\
\infty & & -1<\alpha<0
\end{array}\right.$$
Puoi concludere, allora, che la funzione risulta derivabile per $\alpha>0$ (perché non lo è per $\alpha=0$?) nel punto $x=0$. Ed essa risulta, banalmente, derivabile negli altri punti dell'intervallo $]-1,1[$.
Per prima cosa, avendo dimostrato che la funzione è continua per $\alpha> -1$, basta considerare questi valori per studiarne la derivabilità, in quanto con i valori del parametro per cui la funzione non è continua in $x=0$ automaticamente viene a cadere la derivabilità in tale punto.
Inoltre, la derivabilità si definisce all'interno dell'intervallo (su un aperto), per cui fare considerazioni nei punti di frontiera di esso non ha neanche senso. Come puoi osservare, infine, considerando il comportamento asintotico, il rapporto incrementale si comporta come la funzione $|x|^\alpha$ e si ha come limite
$$\lim_{x\to 0} |x|^\alpha=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \alpha>0\\
1 & & \alpha=0\\
\infty & & -1<\alpha<0
\end{array}\right.$$
Puoi concludere, allora, che la funzione risulta derivabile per $\alpha>0$ (perché non lo è per $\alpha=0$?) nel punto $x=0$. Ed essa risulta, banalmente, derivabile negli altri punti dell'intervallo $]-1,1[$.
"ciampax":
Puoi concludere, allora, che la funzione risulta derivabile per $ \alpha>0 $ (perché non lo è per $ \alpha=0 $?).
Non mi è chiaro perchè non devo considerare $ \alpha=0 $
Quanto dovrebbe venire, secondo te, la derivata della funzione in $x=0$, quando è possibile calcolarla? E quanto viene il limite del rapporto incrementale?
be la funzione in $ x=0 $ vale $0$, come dice la traccia..quindi avrei una derivata uguale a $0$
Appunto, ma il limite del rapporto incrementale non vale zero per $\alpha=0$. E quindi?
Abbiamo una discontinuità di prima specie? non ho capito dove vuoi arrivare
Qual è la definizione di derivabilità?
una funzione si dice derivabile in un punto $x0$, se esiste finito il limite del rapporto incrementale per $x->x0$..
Solo questo? E allora ti chiedo:quando esiste un limite? In più, se la funzione assume un valore nel punto, cosa deve accadere al limite affinché non ci siano "problemi"?
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