Continuità e Derivabilità con parametro

[Tea-Rex]

Ciao a tutti quanti!
Mi sto cimentando in un esercizio da tema d'esame, del quale pensavo di saper trovare agevolmente la soluzione, ma che ahimè, mi ha messo in difficoltà.
Dire per quali parametri reali $\alpha$ e $\beta$, la funzione:

$f(x) = {(x^(\alpha + 1) sin(1/x)+log(1+x^(\beta -2)),if x >0),(x,if x<=0) :}$

1) è continua in $x=0$
2) è derivabile in $x=0$

Svolgimento:
Io so che per la continuità devo fare il limite destro e il limite sinistro della funzione.
Per il limite sinistro non ci sono problemi in quanto $\lim_{x \to 0^-} x = 0$

Per il limite destro: $\lim_{x \to 0^+} x^(\alpha + 1) sin(1/x)+log(1+x^(\beta -2))$ uso gli sviluppi asintotici:

$sin(1/x) = 1/x -1/(6x^3) + o((1/x)^3)$

$log(1+x^(\beta -2)) = x^(\beta -2)-(x^(2 \beta -4))/2+(x^(3 \beta -6))/2 + o((x^(3 \beta - 6))$

E qui arriva il problema:

$\lim_{x \to 0^+} x^(\alpha + 1)(1/x -1/(6x^3) + o((1/x)^3))+x^(\beta -2)-(x^(2 \beta -4))/2+(x^(3 \beta -6))/2 + o((x^(3 \beta - 6))) =$ $ \lim_{x \to 0^+} x^(\alpha)-1/6x^(\alpha -2)+x^(\beta -2)-(x^(2 \beta - 4))/2+(x^(3 \beta - 6))/3$

Da qui non so più che fare.

E per la derivabilità il discorso è analogo, poichè dopo aver fatto la derivata, mi trovo ancora una funzione in cui userei ancora gli sviluppi asintotici che però non mi portano a nulla.

Dove sto stupidamente sbagliando?

[cooper1]

l'argomento del seno non è infinitesimo ma infinito. gli sviluppi non valgono. devi imporre che la x davanti al seno si annulli e che anche il termine con la x del logaritmo si annulli. così il limite fa zero.

[Tea-Rex]

Mi stai dicendo quindi che dovrei fare:

$lim_{x \to 0^+} x^(\alpha +1) = 0 \to \alpha + 1 > 0 \to \alpha > -1$

$lim_{x \to 0^+} log(1+x^(\beta -2)) = 0 \to lim_{x \to 0^+} 1+x^(\beta -2) = 1 \to lim_{x \to 0^+} x^(\beta -2) = 0 \to \beta -2 >0 \to \beta >2$

Quindi: $\alpha > -1$ e $\beta>2$

Però non mi soddisfa, perchè di solito devo fare soluzione del limite sx = soluzione del limite dx sia per la continuità che la derivabilità.

[cooper1]

ma è quello che stai facendo. tu sai che la funzione in 0 vale 0 e il limite sx hai già provato essere nullo. per avere continuità devi quindi avere ("imporre" in un certo senso) che anche il limite dx sia nullo. quando quel limite si annulla? per quei valori dei parametri.

[Tea-Rex]

Proseguendo con la derivabilità ho che:

$ f\prime(x) = {((\alpha+1)x^(\alpha)sin(1/x)-x^(\alpha -1)cos(1/x)+(\beta -2)(x^(\beta -3))/(1+x^(\beta -2)),if x >0),(1,if x<=0) :} $

Quindi:
$\lim_{x \to 0^-} 1 = 1$

Poi faccio il limite sinistro:

$lim_{x \to 0^+} (\alpha+1)x^(\alpha)sin(1/x)-x^(\alpha -1)cos(1/x)+(\beta -2)(x^(\beta -3))/(1+x^(\beta -2)$

Ma come procedo? Qui ho il $sin(1/x)$ e il $cos(1/x)$ che oscillano, quindi non posso imporre nessuna condizione particolare, semplicemente li annullo: mi verrebbe da dire che vale $\AA \alpha >1$. Mentre per la parte in cui è presente il $\beta$, impongo la condizione:

$\lim_{x \to 0^+} (\beta -2)(x^(\beta -3))/(1+x^(\beta -2)) = 1$

Si ottiene questo con $\beta = 3$

Quindi la funzione è derivabile:
$\AA \alpha >1$ e $\beta = 3$

Ma tutto questo è corretto?

[cooper1]

per studiare la derivabilità non devi studiare il limite dx e sx della derivata ma devi lavorare sul limite del rapporto incrementale o sulla derivabilità DA dx o DA sx.
usando il rapporto incrementale devi vedere quando il limite dx e sx del rapporto incrementale esistono finiti e hanno lo stesso valore, ovvero
$lim_(x->0^+)(f(x_0+h)-f(x_0))/h = lim_(x->0^-)(f(x_0+h)-f(x_0))/h $

il metodo che proponi tu non sempre è efficacie/applicabile.

[Tea-Rex]

Mi sta venendo un lapsus, è corretto questo rapporto incrementale?

$lim_{h \to 0^+} (h^(\alpha+1)sin(1/h)+log(1+h^(\beta -2)) - x)/h$

Ho fatto:
$f(x_{0} + h) = h^(\alpha+1)sin(1/h)+log(1+h^(\beta -2))$

$f(x_{0}) = x$

Oppure è giusto questo:

$lim_{h \to 0^+} ((x+h)^(\alpha+1)sin(1/(x+h))+log(1+(x+h)^(\beta -2)) - x)/h$

[cooper1]

nessuno dei due. $f(x_0)=0$ l'altra ($f(x_0 +h)$) mi sembra corretta.

[Tea-Rex]

"cooper":nessuno dei due. $f(x_0)=0$ l'altra ($f(x_0 +h)$) mi sembra corretta.

Devo ragionare in questo modo: $x_{0} = 0$, quindi, data la funzione a tratti assegnata, se $x_{0} = 0$, allora $f(x_{0}) = x$ valutato in 0, quindi $f(x_{0}) = 0$

Quindi ho:

$lim_{x \to 0^-} (f(0 + h) - f(0))/h = lim_{x \to 0^-} h/h =1$

Quindi ho come condizione che anche il limite destro deve fare 1.


$lim_{x \to 0^+} (f(0 + h) - f(0))/h = lim_{h \to 0^+} (h^(\alpha+1)sin(1/h)+log(1+h^(\beta -2)))/h$

E qui non so esattamente come procedere, in quanto $sin(1/h)$ mi crea problemi perchè oscilla, quindi lo annullerei mettendo $\alpha > -1$ e il termine con il logaritmo, non ho speranza di farlo diventare 1.
Al massimo mi verrebbe da porre anche la condizione che $\beta > 2$, per avere il $lim_{x \to 0^-} 0/0$ e usare de l'Hopital.
In tal caso avrei:
$lim_{x \to 0^+} (\alpha+1)h^(\alpha)sin(1/h)-h^(\alpha -1)cos(1/h)+(\beta -2)(h^(\beta -3))/(1+h^(\beta -2))$

E quindi concluderei che $\alpha > 1$ e $\beta = 3$

Ma non so se questa linea di pensiero sia corretta.

[cooper1]

io non userei Hopital; comunque mi sembra che il tuo ragionamento possa essere quello corretto.
la continuità è condizione necessaria alla derivabilità, quindi se una funzione non è continua in un punto certamente non sarà nemmeno derivabile, quindi possiamo restringerci in partenza a lavorare con $alpha > -1 ^^ beta>2$
in questo intervallo posso usare lo sviluppo del logaritmo ($h$ è sicuramente infinitesimo). dividendo per $h$ ottengo il limite seguente: $h^alpha sin(1/h)+h^(beta-3)$ perchè faccia 1 deve essere $alpha>=0 ^^ beta=3$. io farei così