Continuità e derivabilità
$ f(x) = \{(xarctg(2/x) --- x!=0) , (0 ------ x=0):}$
mi dice di specificare l'insieme in cui la funizione risulta continua a derivabile.
so che se una funzione è derivabile allora è anche continua, quindi in generale posso trovare l'insieme in cui la funizione risulta derivabile e lì sarà anche continua.
Pensavo di fare il passaggio al limite della funzione per $ x->0$
è giusto il mio Ragionamento?
mi dice di specificare l'insieme in cui la funizione risulta continua a derivabile.
so che se una funzione è derivabile allora è anche continua, quindi in generale posso trovare l'insieme in cui la funizione risulta derivabile e lì sarà anche continua.
Pensavo di fare il passaggio al limite della funzione per $ x->0$
è giusto il mio Ragionamento?
Risposte
Potresti avere un problema per $[x=0]$. Delle due l'una: calcoli esplicitamente il limite del rapporto incrementale per $[x=0]$, oppure derivi la funzione per $[x!=0]$ e calcoli il limite della derivata per $[x=0]$. In entrambi i casi, se il limite esiste ed è finito, la funzione risulta derivabile anche per $[x=0]$. Per un caso concreto, puoi guardare anche qui: studio-di-funzioni-problema-con-esercizio-t94179.html
quindi per vedere se la funzione è continua in tutto $RR$ faccio il il limite del rapporto incrementale nei punti problematici e se per entrambe le funzioni (o tratti di funzioni) in questi dati punti si ottiene lo stesso valore allora la funzione è continua... Giusto?
invece per la derivabilità le devo derivare e calcolare le derivate nei punti problematici?
invece per la derivabilità le devo derivare e calcolare le derivate nei punti problematici?
"Mrs92":
Quindi per vedere se la funzione è continua in tutto $RR$ faccio il il limite del rapporto incrementale nei punti problematici e se per entrambe le funzioni (o tratti di funzioni) in questi dati punti si ottiene lo stesso valore allora la funzione è continua... Giusto?
Per la continuità non è necessario. Tipicamente, è sufficiente calcolare i limiti sinistro e destro della funzione. Se sono uguali e finiti, si confronta il limite con il valore della funzione nel punto in esame.
"Mrs92":
Invece per la derivabilità le devo derivare e calcolare le derivate nei punti problematici?
Per la derivabilità mi sono già espresso. Ti faccio solo notare che calcolare la derivata in un punto senza sapere se la derivata esiste in quel punto è, nella migliore delle ipotesi, contradditorio. Se vuoi procedere rigorosamente, dovresti seguire il mio suggerimento iniziale.
ok quindi per la continuità:
$lim_(x ->0^+) xarctan(2/x) = pi/2 * 0 = 0$
$lim_(x ->0^-) xarctan(2/x) = pi/2 * 0 = 0$
e coincide con il valore che la funzione assume in 0
ora visto che la funizione risulta continua in generale non posso dire dove non è derivabile e quindi me lo devo cancolare.
per la derivabilità:
$f'(x) = arctan(2/x) + (-2x)/(x^2 + 4) $
calcolato in $x=0$ mi dà $ pi/2 + 0 = pi/2 $
quindi è derivabile in tutto $RR$
Right?
$lim_(x ->0^+) xarctan(2/x) = pi/2 * 0 = 0$
$lim_(x ->0^-) xarctan(2/x) = pi/2 * 0 = 0$
e coincide con il valore che la funzione assume in 0
ora visto che la funizione risulta continua in generale non posso dire dove non è derivabile e quindi me lo devo cancolare.
per la derivabilità:
$f'(x) = arctan(2/x) + (-2x)/(x^2 + 4) $
calcolato in $x=0$ mi dà $ pi/2 + 0 = pi/2 $
quindi è derivabile in tutto $RR$
Right?
Veramente:
$lim_(x ->0^-)[xarctan(2/x)]=0*(-pi/2)=0$
anche se, per il momento, la sostanza non cambia. Il mio discorso voleva essere di carattere generale. Voglio dire, se ti viene chiesto solo lo studio della continuità, non è necessario scomodare la derivabilità. Viceversa, passare subito alla derivabilità può essere conveniente. Soprattutto se la funzione risulta essere derivabile. Non è questo il caso, in base alla correzione di cui sopra, e allora lo studio della continuità si sarebbe comunque reso necessario.
$lim_(x ->0^-)[xarctan(2/x)]=0*(-pi/2)=0$
anche se, per il momento, la sostanza non cambia. Il mio discorso voleva essere di carattere generale. Voglio dire, se ti viene chiesto solo lo studio della continuità, non è necessario scomodare la derivabilità. Viceversa, passare subito alla derivabilità può essere conveniente. Soprattutto se la funzione risulta essere derivabile. Non è questo il caso, in base alla correzione di cui sopra, e allora lo studio della continuità si sarebbe comunque reso necessario.
si ma siccome un punto di discontinuità è anche un punto di non derivabilità mi sarei semplificato il lavoro nel caso di una derivata difficoltosa.
Cmq se nella tua, suppongo lunga, esperienza hai sempre seguito il tuo metodo e si è rivelato giusto allora non ho motivo di dubitarne.
Per ora ti ringrazio vivamente
Cmq vorrei sapere altre cosucce. Oltre a questo lavoro (e alla possibilità di classificare i punti di non derivabilità o non continuità) dovrei fare altro?
un esempio solo per afferrare i concetti
$ f(x) = \{(e^-x +1 --- <=0) , (2 + xln(x) --- x>0):}$
$ x=0 \{(f(0) = 2 ) , (lim_(x-> 0^+) 2 + xln(x) ) , (lim_(x-> 0^-) (e^-x +1 )):}$
il primo limite fa $2$ e lo stesso vale per il secondo, quindi la funzione è continua su tutto l'intervallo.
per la derivabilità:
$(e^-x + 1)' = -e^-x $ calcolata in $x=0$ dà $0$
$(2 + xln(x))' = lnx + 1 $ alcolata in $x=0$ dà $-oo$
la funzione non è derivabile nel punto $x=0$
è corretto? dovrei aggiungere altro?
Cmq se nella tua, suppongo lunga, esperienza hai sempre seguito il tuo metodo e si è rivelato giusto allora non ho motivo di dubitarne.
Per ora ti ringrazio vivamente
Cmq vorrei sapere altre cosucce. Oltre a questo lavoro (e alla possibilità di classificare i punti di non derivabilità o non continuità) dovrei fare altro?
un esempio solo per afferrare i concetti
$ f(x) = \{(e^-x +1 --- <=0) , (2 + xln(x) --- x>0):}$
$ x=0 \{(f(0) = 2 ) , (lim_(x-> 0^+) 2 + xln(x) ) , (lim_(x-> 0^-) (e^-x +1 )):}$
il primo limite fa $2$ e lo stesso vale per il secondo, quindi la funzione è continua su tutto l'intervallo.
per la derivabilità:
$(e^-x + 1)' = -e^-x $ calcolata in $x=0$ dà $0$
$(2 + xln(x))' = lnx + 1 $ alcolata in $x=0$ dà $-oo$
la funzione non è derivabile nel punto $x=0$
è corretto? dovrei aggiungere altro?
Non ho capito se ti sei reso conto di aver sbagliato il primo esercizio.
giusto, giusto che svista....
il secondo esercizio invece è corretto?
il secondo esercizio invece è corretto?
"Sergio":
Limite del rapporto incrementale per \(x\to 0\)
Forse intendevi scrivere per $[x=0]$ o per $[h->0]$.
sì, non ho molta confidenza con il rapporto incrementale quindi a volte mi capita di sbagliare il linguaggio, scusate.
se non ti dispiace userò il tuo CONSIGLIO per analisi II, ora invece lo terrò a mente soltanto. sto cercando di razionalizzare il lavoro da fare ehe.
Ora, per concludere questa parentesi potreste controllare l'esercizio che ho fatto, così posso andare avanti.
Grazie di tutto.
Ora, per concludere questa parentesi potreste controllare l'esercizio che ho fatto, così posso andare avanti.
Grazie di tutto.
"Sergio":
@Mrs92: guarda che speculor aveva giustamente tirato le orecchie a me, non a te...
Non esageriamo, apprezzo il tuo rigore in tutti i campi. Ho voluto sottolineare la svista solo a beneficio degli studenti che non hanno le tue competenze. Grazie per la comprensione e a presto.
non vorrei risultare irrispettoso ma sembra che state evitando apposta il secondo esercizio xD hehe
"Mrs92":
$(e^-x + 1)' = -e^-x $ calcolata in $x=0$ dà $0$
Veramente quel limite vale $[-1]$. Il resto, al di là dei termini utilizzati, è corretto. Ti ricordo che sollecitare le risposte in modo un po' troppo insistente non rientra nello spirito del forum.
grazie di nuovo, e mi scuso
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