Continuità e derivabilità

[Maryse1]

Ho un problema su questo esercizio.

Studiare continuità e derivabilità in $ RR $ della funzione
g(x)= $ x^2 + 2x - 1 + (xsenx +x^2)/ (1+sqrt(|x|)) $

Allora per la derivabilità io ho studiato solo il limite del rapporto incrementale di $ sqrt(|x|) $
poichè le altre sono funzioni sempre derivabili in $ RR $ giusto?
Dato che il limite poi viene finito, la funzione g(x) è derivabile su tutto $ RR $.

Per dimostrare la continuità invece, (senza dire che se una funzione è derivabile allora è sempre continua)
usando la definizione di funzione continua non so come proseguire...

Grazie mille anticipo

[dissonance]

La derivabilità è tutta sbagliata. \(\sqrt{\lvert x \rvert}\) NON è derivabile per \(x=0\). Quindi devi studiare la derivabilità analizzando direttamente il rapporto incrementale di \(g(x)\). E comunque non vale fare così. Prima studia la continuità e poi la derivabilità.

[Maryse1]

Si lo so che prima dovrei studiare la continuità..
Quindi non posso studiare la derivabilità di singole parti della funzione, per dimostrare che è derivabile su tutto $ RR$ sapendo che le altre sono sempre derivabili?..
Perchè così facendo g(x) mi veniva derivabile

[dissonance]

Non è che non lo puoi fare. E' chiaro che se ogni addendo e fattore di una espressione è derivabile anche l'espressione intera è derivabile. Ma \(\sqrt{\lvert x \rvert}\) NON è derivabile in \(0\), come te lo devo dire? Guarda il grafico:

[asvg]axes(); plot("sqrt(abs(x))");[/asvg]

[Maryse1]

sisi quello l'avevo capito