Continuità e derivabilità

[chiara_genova]

ciao a tutti, potete aiutarmi con lo svolgimento di questo esercizio? grazie a priori:

Determinare al variare di a,b $in R$ dove è continua e derivabile la seguente funzione:

$f(x) = {((1-ax^2)/(x^4+1),, x<-1 uux>1), (b+ln(2-x^2),, -1 <= x <= 1):}$

[ELWOOD1]

per la condizione di continuità devi eguagliare i limiti delle funzioni, per quella di derivabilità devi eguagliare i limiti delle derivate

[chiara_genova]

ok, ma in questo caso il punto in cui devo calcolare continuità e derivabilità è uno solo o è tutto il dominio? grazie

[chiara_genova]

ehm..nicasamarciano, è sparita la tua risposta! come ci arrivi a determinare quanto vale a e b?

[_nicola de rosa]

"chiara_genova":ok, ma in questo caso il punto in cui devo calcolare continuità e derivabilità è uno solo o è tutto il dominio? grazie

Per la continuità i punti in questione sono $x=+-1$ e per entrambi la condizione di continuità impone $(1-a)/2=b$ cioe $a+2b=1$
Per la derivabilità allora
$f'(x)=(-2ax(x^4+1)-4x^3(1-ax^2))/((x^4+1)^2$ se $x>1$ U $x<-1$ ed
$f'(x)=(-2x)/(2-x^2)$
Ora si nota che $f'(1^+)=(-2a*2-4(1-a))/4=-1$ e $f'(1^-)=-2/(2-1)=-2$
Analogamente $f'(-1^-)=(2a*2+4(1-a))/4=1$ e $f'(-1^+)=2/(2-1)=2$
Per cui i punti $x=+-1$ sono punti di non derivabilità
Quindi la funzione è derivabile nel dominio esclusi i punti $x=+-1,+-sqrt(2)$
per cui i valori di $a$ e $b$ $in RR$ devono soddisfare la sola condizione $a+2b=1$ per assicurare la sola continuità

[ELWOOD1]

le funzioni hanno gli estremi in comune cioè +1 e -1...eguagliando i limiti che tendono a +,- 1 trovi $(1-a)/2=b$
poi eguagli i limii delle derivate sempre con lo stesso procedimento, metti a sistema entrambi e trovi i valori di a e b