Continuità e derivabilità.
come faccio a sapere se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato? in uno aperto? e in R?
come faccio a sapere se una funzione è derivabile in un intervallo chiuso e limitato? in uno aperto? e in R?GRAZIE.
Non vi meravigliate se la mia ignoranza in matematica ha un limite tendente a più infinito.
come faccio a sapere se una funzione è derivabile in un intervallo chiuso e limitato? in uno aperto? e in R?GRAZIE.
Non vi meravigliate se la mia ignoranza in matematica ha un limite tendente a più infinito.
Risposte
In generale una funzione f(x) si dice continua in un punto c quando esiste in quel punto e si verifica che $lim_(x to c)f(x)=f(c)$.
Affinchè una funzione sia continua in un certo intervallo chiuso o aperto, limitato o illimitato è necessario che la relazione precedente sia valida per tutti i punti dell'intervallo.
Se una funzione è derivavile in un intervallo allora essa è continua in tale intervallo. Non è sempre vero invece il contrario cioè la continuità è condizione necessaria, ma non sufficiente per la dirivabilità. Quindi esistono funzioni continue in un dato intervallo ma non derivabili in un tale intervallo.
Affinchè una funzione sia continua in un certo intervallo chiuso o aperto, limitato o illimitato è necessario che la relazione precedente sia valida per tutti i punti dell'intervallo.
Se una funzione è derivavile in un intervallo allora essa è continua in tale intervallo. Non è sempre vero invece il contrario cioè la continuità è condizione necessaria, ma non sufficiente per la dirivabilità. Quindi esistono funzioni continue in un dato intervallo ma non derivabili in un tale intervallo.
si questo lo sapevo. il problema è che probabilmente all esame ci sarà da verificare la continuità e/o derivabilità di una funzione in un intervallo
Per esempio verificare se $f(x)=\sqrt{|x|}$ risulta continua e derivabile su tutto $\bb{R}$
Allora comici dicendo, quando una funzione elementare è continua? Sempre, a parte dove non lo sono le operrazioni che vi si fanno..
Per esempio $1/x$ è una funzione elementare, ma non è continua in 0 perchè l'operazione quoziente non è definita quando x assume quel valore..
In ogni caso il punto "pericoloso" con il valore assoluto è quando la funzione al suo interno cambia di segno. Quindi:
$lim_{x\to0}f(x)=f(x_0)=0$ questo ci assicura la continuità.
Per la derivabilità il discorso è simile ed il punto a maggior ragione è sempre 0 dato che con il valore assoluto spesso si hanno discontinuità di prima o di seconda specie nel punto in cui la funzione cambia di segno. Per esempio $|x|$ presenta un punto angoloso in $x=0$.
$d/{dx}\sqrt{|x|}={|x|}/{2x\sqrt{|x|}}={\sqrt{|x|}}/{2x}$
$\lim_{x\to0^{\pm}}{\sqrt{|x|}}/{2x}=\pminfty$
Quindi la funzione non solo non è derivabile, perchè la derivata tende ad infinito, ma anche perchè il limite destro e sinistro sono diversi. Anzi in questo caso ci troviamo di fronte ad una cuspide.
Allora comici dicendo, quando una funzione elementare è continua? Sempre, a parte dove non lo sono le operrazioni che vi si fanno..
Per esempio $1/x$ è una funzione elementare, ma non è continua in 0 perchè l'operazione quoziente non è definita quando x assume quel valore..
In ogni caso il punto "pericoloso" con il valore assoluto è quando la funzione al suo interno cambia di segno. Quindi:
$lim_{x\to0}f(x)=f(x_0)=0$ questo ci assicura la continuità.
Per la derivabilità il discorso è simile ed il punto a maggior ragione è sempre 0 dato che con il valore assoluto spesso si hanno discontinuità di prima o di seconda specie nel punto in cui la funzione cambia di segno. Per esempio $|x|$ presenta un punto angoloso in $x=0$.
$d/{dx}\sqrt{|x|}={|x|}/{2x\sqrt{|x|}}={\sqrt{|x|}}/{2x}$
$\lim_{x\to0^{\pm}}{\sqrt{|x|}}/{2x}=\pminfty$
Quindi la funzione non solo non è derivabile, perchè la derivata tende ad infinito, ma anche perchè il limite destro e sinistro sono diversi. Anzi in questo caso ci troviamo di fronte ad una cuspide.
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