Continuita' e derivabilita'
studiare la continuita' e la derivabilita' delle seguenti funzioni:
x*sin(1/x) se x diverso da 0
0 se x = 0
----------------------------------------
x^2 * sin(1/x) se x diverso da 0
0 se x = 0
Risposte
Una funzione f(x) si dice continua nel punto x0 se il limite per x->x0 di f(x)
vale f(x0). Entrambe le funzioni sono continue perché valgono 0 in x = 0 ed inoltre
sia il limite di x*sin(1/x) che (tanto più) quello di x^2*sin(1/x) per x->0 valgono 0.
Nessuna delle due è invece derivabile perché non esistono
i limiti delle derivate di entrambe le funzioni per x->0.
vale f(x0). Entrambe le funzioni sono continue perché valgono 0 in x = 0 ed inoltre
sia il limite di x*sin(1/x) che (tanto più) quello di x^2*sin(1/x) per x->0 valgono 0.
Nessuna delle due è invece derivabile perché non esistono
i limiti delle derivate di entrambe le funzioni per x->0.
la prima funzione non è derivabile in x=0, infatti il rapporto incrementale è
[f(0+h) - f(0)]/h = sen 1/h e per h-->0 il limite non esiste.
la seconda funzione è derivabile in x=0, infatti il rapporto incrementale è
[f(0+h) - f(0)]/h =h * sen 1/h -->0 per h-->0
quindi f'(0)=0
[f(0+h) - f(0)]/h = sen 1/h e per h-->0 il limite non esiste.
la seconda funzione è derivabile in x=0, infatti il rapporto incrementale è
[f(0+h) - f(0)]/h =h * sen 1/h -->0 per h-->0
quindi f'(0)=0
Giusto...
Già! La seconda funzione è quella che spesso si usa come esempio di una funzione derivabile in un punto ma con derivata non continua in tale punto!
Woody
Woody
Esattamente... E pensare che tempo fa avevo proprio usato la funzione x^2*sin(1/x) per
rispondere a un quesito di questo tipo (f derivabile ma con derivata non continua)... La solita fretta.
rispondere a un quesito di questo tipo (f derivabile ma con derivata non continua)... La solita fretta.
chiedo scusa ma h * sen 1/h per h-->0 Piera ha scritto che vale 0. A me verrebbe da dire che non esite anche questo limite. Poiche' h->0 e sen 1/h non esiste. Qualche delucidazione in più per favore???
Il limite è zero. Per calcolare lim[h->0] h*sen(1/h) facciamo
un cambio di variabile e poniamo 1/h = y da cui h = 1/y e notiamo che per h->0, y->inf.
Quindi il limite che dobbiamo calcolare ora è un altro:
lim[y->inf] sen(y)/y = 0. Si dimostra che il limite vale 0 usando
il teorema del confronto; sappiamo che -1 <= sen(y) <= 1 ; dividiamo
tutti i membri per y, supponendo y diverso da 0 e abbiamo:
-1/y <= sen(y)/y <= 1/y ... Poiché sia -1/y che 1/y tendono a 0 per y->inf,
anche sen(y)/y si comporta ugualmente per y->inf.
un cambio di variabile e poniamo 1/h = y da cui h = 1/y e notiamo che per h->0, y->inf.
Quindi il limite che dobbiamo calcolare ora è un altro:
lim[y->inf] sen(y)/y = 0. Si dimostra che il limite vale 0 usando
il teorema del confronto; sappiamo che -1 <= sen(y) <= 1 ; dividiamo
tutti i membri per y, supponendo y diverso da 0 e abbiamo:
-1/y <= sen(y)/y <= 1/y ... Poiché sia -1/y che 1/y tendono a 0 per y->inf,
anche sen(y)/y si comporta ugualmente per y->inf.
Giusto, Fireball. Oppure si può applicare il teorema che dice che il prodotto di una funzione infinitesima (in questo caso h) per una funzione limitata (in questo caso sin(1/h)) è una funzione infinitesima.
Woody
Woody
grazie per la delucidazione Fireball!!!
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