Continuità e Derivabilità 2

[Hajra]

Dire se la funzione è continua e derivabile nell'origine.

[math]f(x)= \left| \frac{x}{x^2 - 1} \right | \\ lim_{x \rightarrow 0^+} \left| \frac{x}{x^2 - 1} \right | = 0 \\ lim_{x \rightarrow 0^-} \left| \frac{x}{x^2 - 1} \right | = 0 \\ f(0) =\left| \frac{x}{x^2 - 1} \right | = 0 [/math]

la funzione è continua nell'origine.

Derivabilità:

[math]lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\\=\frac{{\left| \frac{x +h}{(x+h)^2 - 1} \right |}- \left| \frac{x}{x^2 - 1} \right |}{h} [/math]

[math] \frac{{\left| \frac{1}{(x+h) - 1} \right |}- \left| \frac{1}{x - 1} \right |}{h}[/math]

da qui in poi come vado avanti?????

[rino6999]

[math]f(0)=0[/math]

[math]f(0+h)=f(h)=|\frac{h}{h^2-1}|[/math]

anche(anzi,soprattutto) per la derivabilità devi fare il limite destro e sinistro

[Hajra]

[math]lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\\=\frac{{\left| \frac{x +h}{(x+h)^2 - 1} \right |}- \left| \frac{x}{x^2 - 1} \right |}{h}[/math]

sostituisco x con il 0:

[math]=\frac{{\left| \frac{ h}{(h)^2 - 1} \right |}- \left| \frac{0}{0 - 1} \right |}{h} \\ =\frac{{\left| \frac{ h}{(h)^2 - 1} \right |}}{h}[/math]

Facendo il limite destro e sinistro, come lo so k nella frazione di numeratore

[math]{\left| \frac{ h}{(h)^2 - 1} \right |}[/math]

il denominatore ha grado di termine maggiore rispetto a quello del numeratore quindi il risultato sarà =0.

Avendo 0 come il numeratore della frazione principale

[math]lim_{h \rightarrow 0}=\frac{0}{h}= 0[/math]

quindi posso dire che la funzione è derivabile nell'origine.

[ciampax]

Non puoi sostituire le cose come ti pare. Il limite per la derivabilità risulta il seguente:

[math]\lim_{h\to 0^\pm}\frac{1}{h}\left|\frac{h}{h^2-1}\right|[/math]

Ora, quello che sicuramente non dà problemi, è il denominatore dentro il valore assoluto visto che il suo limite è -1. Per cui il limite diventa

[math]\lim_{h\to 0^\pm}\frac{1}{f}\left|\frac{h}{-1}\right|=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{|h|}{h}[/math]

A questo punto devi usare il ragionamento che ti ho già spiegato: quando

[math]h\to 0^+\ \Rightarrow\ |h|=h[/math]

mentre se

[math]h\to 0^-\ \Rightarrow\ |h|=-h[/math]

Pertanto

[math]\lim_{h\to 0^\pm}\frac{|h|}{h}=\left\{\begin{array}{l}
\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1\\ \lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1
\end{array}\right.[/math]

e quindi la funzione non è derivabile e presenta un punto angoloso.