Continuità e derivabilità

[vitunurpo]

Ciao a tutti
Sto svolgendo alcuni esercizi proposti in classe durante le esercitazioni di Analisi 2.
Mi sono trovata davanti a questo problema e ammetto che non so bene come partire. Non sto chiedendo di darmi la soluzione né lo svolgimento, ma solamente un input su come ragionare con questo tipo di problemi
Perché detta in modo banale, so come fare con quelli standard, ma non come fare con questi in cui non ho il problema di continuità in (0,0) o in cui devo trovare al funzione g(x)!

Data la seguente funzione

$ { ( (arctg(x)arctg(y))/(x-y) ),( g(x) ):} $ la prima è per $ x!= y $ e la seconda per $ x=y $
Trovare g(x) affinché f(x,y) sia di classe C infinito nella bolla di raggio 1 centrata in (0,0). Cosa succede in R2 privato della bolla di raggio 1 centrata in (0.0) ?

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

In generale in questi casi uno cerca di capire cosa succede per \(x\) "vicino" ad \(y\). Per esempio la funzione \( \frac{x-y}{(x+y)(x-y)}\) non e' definita lungo \(x=y\), ma puo' essere ivi estesa per continuita'. Nel tuo caso pero' non vedo come si possa fare. Se fisso un \( y_0 \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \) allora \[ \lim_{x \to y_0} \frac{\arctan(x) \arctan(y_0)}{x-y_0} = \infty. \]Sei sicuro del testo?

[vitunurpo]

abbastanza sicura, ma potrei sempre aver dimenticato un segno meno tra le due arcotangenti... in tal caso sarebbe fattibile?

[vitunurpo]

Ho tentato uno svolgimento nel caso in cui ci fosse un meno, ma non ne sono minimamente sicura. Qualcuno potrebbe dirmi se ha senso? E se non ne ha, darmi qualche dritta?
Grazie infinite!
Posto qui sotto la foto

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Ci dev'essere il meno per forza, altrimenti l'esercizio non ha senso. In ogni caso non capisco molto bene quello che hai fatto. Prova, piuttosto, ad usare direttamente il fatto che \[ \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \dots \] per \( |x|<1\).

[vitunurpo]

Però scusa non posso usare lo sviluppo di McLaurin se non è centrato in 0.. dovrei usare se mai Taylor centrato in y

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Avevo scritto in effetti una cosa un po' imprecisa (che ho corretto). Ciononostante l'idea dovrebbe funzionare ugualmente, perche' l'arcotangente e' una di quelle funzioni "speciali" che coincide con il suo sviluppo di MacLaurin nell'intervallo \( (-1,1) \). Di fatto hai che \[ \frac{\arctan(x) - \arctan(y)}{x-y} = 1 -\frac{1}{3} \frac{x^3 - y^3}{x-y} + \dots \]e \( x^n - y^n = (x-y) \sum_{i=1}^n x^{n-i} y^{i-1} \) quindi quando \( x \approx y\) sembrerebbe che \[ \frac{\arctan(x) - \arctan(y)}{x-y} \approx 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots = \sum_{i=0}^\infty (-x^2)^i = \frac{1}{1+x^2}. \]Il che non sorprende affatto, visto che quello a sinistra e' proprio un rapporto incrementale.

[vitunurpo]

Ora ho provato usando Taylor e mi viene
Grazie!

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

"vitunurpo":Ora ho provato usando Taylor e mi viene
Grazie!

Mi fai vedere come?

[vitunurpo]