Continuità e derivabilità
Potete aiutarmi con questo esercizio?
Sia $f$ la funzione $f(x)=sin(e^(3x)-1)/(ax+bx^2)$. Stabilire per quali coppie di valori $(a,b) in RR^2$ \ ${(0,0)}$ :
i) $f$ è prolungabile con continuità $x=0$.
ii)$f$ è prolungabile con continuità $x=0$ e il prolungamento continuo di $f$ è anche derivabile in $x=0$. In questo caso, calcolare $f'(0)$.
Sia $f$ la funzione $f(x)=sin(e^(3x)-1)/(ax+bx^2)$. Stabilire per quali coppie di valori $(a,b) in RR^2$ \ ${(0,0)}$ :
i) $f$ è prolungabile con continuità $x=0$.
ii)$f$ è prolungabile con continuità $x=0$ e il prolungamento continuo di $f$ è anche derivabile in $x=0$. In questo caso, calcolare $f'(0)$.
Risposte
Tentativi tuoi? Per il primo punto, cosa hai provato a fare?
Per il primo punto ho sviluppato l'argomento del seno arrivando a scrivere $(3x+9x^2)/(ax+bx^2)= 3/a + (9/2)/b$
E gli $\text{o}$-piccolo? E il limite?
Inoltre non è corretto come hai spezzato la frazione, infatti se fai il minimo comune multiplo non è uguale al membro di sinistra; riscrivi per bene con tutti i passaggi per favore, altrimenti diventa difficile aiutarti.
Inoltre non è corretto come hai spezzato la frazione, infatti se fai il minimo comune multiplo non è uguale al membro di sinistra; riscrivi per bene con tutti i passaggi per favore, altrimenti diventa difficile aiutarti.
Si allora: dato che al denominatore ho $x^2$ ho sviluppato $e^(3x)$ al secondo ordine, quindi:
$\lim_{x->0} sin(1+3x+(9/2)x^2 +o(x^2)-1)/(ax+bx^2)=sin(3x+(9/2)x^2 +o(x^2))/(ax+bx^2)$ e quindi alla fine il limite risulta $3/a$
$\lim_{x->0} sin(1+3x+(9/2)x^2 +o(x^2)-1)/(ax+bx^2)=sin(3x+(9/2)x^2 +o(x^2))/(ax+bx^2)$ e quindi alla fine il limite risulta $3/a$
Fino a qui è giusto, perché ho ottenuto lo stesso risultato procedendo con i limiti notevoli.
Ok e come procedo? La funzione è prolungabile per continuità dato che il limite è finito per $a!=0$ e $AA b$?
"Rebb10":
Ok e come procedo? La funzione è prolungabile per continuità dato che il limite è finito per $a!=0$ e $AA b$?
a e b sono diversi da zero per premessa, quindi non devi specificare nulla.
Scrivi la funzione prolungata.
La funzione prolungata è $f(x)=3/a$ per $x=0$
E adesso passi al punto successivo
Ok! Pe ril secondo punto, calcolo il rapporto incrementale in $0$ quindi $lim_(h->0)(sin(e^(3h)-1)/(ah+bh^2)-3/a)/h$
La nostra funzione non era definita in x=0 ma abbiamo scoperto che era un punto di discontinuità facilmente eliminabile e abbiamo prolungato la funzione.
La seconda domanda chiede per quali valori di a e b la nostra funzione indicatice è anche derivabile in x=0.
Prendi la funzione $y=x^(1/3)$. Non c'è bisogno di prolungarla perchè è perfettamente definita anche in x=0.
Ma è derivabile in x=0?
No, perchè le derivate destra e sinistra "coincidono" ma non sono finite.
Quindi, fai la derivata della funzione e studia il limite per $x->0$
A occhio dovrai lavorare un poco, perchè dovrai usare Taylor al numeratore sviluppandolo fino al grado necessario affinchè il rapporto non vada ad infinito indivduando al contempo quindi i valori di a e b.
La seconda domanda chiede per quali valori di a e b la nostra funzione indicatice è anche derivabile in x=0.
Prendi la funzione $y=x^(1/3)$. Non c'è bisogno di prolungarla perchè è perfettamente definita anche in x=0.
Ma è derivabile in x=0?
No, perchè le derivate destra e sinistra "coincidono" ma non sono finite.
Quindi, fai la derivata della funzione e studia il limite per $x->0$
A occhio dovrai lavorare un poco, perchè dovrai usare Taylor al numeratore sviluppandolo fino al grado necessario affinchè il rapporto non vada ad infinito indivduando al contempo quindi i valori di a e b.
"Bokonon":
Prendi la funzione $y=x^(1/3)$. Non c'è bisogno di prolungarla perchè è perfettamente definita anche in x=0.
Ma è derivabile in x=0?
No, perchè le derivate destra e sinistra "coincidono" ma non sono finite.
Quindi, fai la derivata della funzione e studia il limite per $x->0$
A occhio dovrai lavorare un poco, perchè dovrai usare Taylor al numeratore sviluppandolo fino al grado necessario affinchè il rapporto non vada ad infinito indivduando al contempo quindi i valori di a e b.
Il “quindi” qui non ha senso.
Esistono funzioni derivabili in un punto, la cui derivata non ammette limite in quel punto. Trova un esempio.
La strategia scritta da Reb10 è quella giusta: per dimostrare, senza aggiungere ipotesi ausiliarie, che una funzione è derivabile bisogna calcolare il limite del rapporto incrementale.
"gugo82":
Il “quindi” qui non ha senso.
Esistono funzioni derivabili in un punto, la cui derivata non ammette limite in quel punto. Trova un esempio.
In effetti hai perfettamente ragione.
Per l'esempio... https://www.matematicamente.it/forum/li ... ml#p685139
(il sempreverde)
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