Continuità e derivabilità

[zio_mangrovia]

Se ho questa funzione:

$\{(e^(-1/(\lamdax)), if x>0),(-x^2, if x<=0):}$

Mentre le derivate prive valgono:

$f'(x)=\{((x\lamda+1)/(x\lamda)e^(-1/(\lamdax)), if x>0),(-2x, if x<=0):}$

Potete dirmi se sono errate le mie affermazioni e dove sbaglio?
Noto che funzione è continua in $x=0$ perché il valore del limite destro e sinistro delle relative funzioni è finito e uguale cioè $0$.
Analizzando invece la derivabilità in $x=0$ noto che il limite destro della prima funzione $f'(x)$ è uguale a quello del limite sinistro della seconda e cioè zero, questo è sufficiente per dire che è derivabile nel punto. Corretto?
E' giusto descrivere che $-2x$ è definito anche per $x<=0$ ?

Per la derivabilità in $x=0$ dovrei verificare che $f'(x)$ sia continua nel punto e poi fare i limiti a destra e sinistra della derivata seconda nel punto e verificare che sono uguali?
2- la funzione è derivabile in $x=0$ perché

[Magma1]

Ciao,

"zio_mangrovia":Se ho questa funzione:

$\{(e^(-1/(\lamdax)), if x>0),(-x^2, if x<=0):}$

Mentre le derivate prive valgono:

$f'(x)=\{((x\lamda+1)/(x\lamda)e^(-1/(\lamdax)), if x>0),(-2x, if x<=0):}$

data la seguente funzione

$e^(-1/(\lamdax))$

posto $u=-1/(\lamdax)$, si ha che

$D(e^u)=e^u*D(u)=e^(-1/(\lamdax))*1/(\lamdax^2)$

dove $D(-1/(\lamdax))=-1/lambda*D(x^-1)=-1/lambda*(-1)*x^(-2)=1/(lambdax^2)$

"zio_mangrovia":
Noto che funzione è continua in $x=0$ perché il valore del limite destro e sinistro delle relative funzioni è finito e uguale cioè $0$.

La continuità va discussa al variare del parametro $lambda in RR$:

$lim_(x->0^+) e^(-1/(\lamdax))=lim_(t->t_o) e^t$

con

$t_o=lim_(x->0^+) -1/(lambdax)=...$

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