Continuità e Derivabilità
Buongiorno,sono nuovo e avrei bisogno di una delucidazione.
Mi sono imbattuto nella seguente funzione in due variabili
\( \sqrt{(x-y)^2+1} + \sqrt{x^2+1} \)
Il testo del libro mi dice: Trovare i punti di continuità e punti di derivabilità.
Cosa si intende per punti di continuità e punti di derivabilità?
Grazie mille in anticipo per la risposta e mi scuso per il disturbo.
Mi sono imbattuto nella seguente funzione in due variabili
\( \sqrt{(x-y)^2+1} + \sqrt{x^2+1} \)
Il testo del libro mi dice: Trovare i punti di continuità e punti di derivabilità.
Cosa si intende per punti di continuità e punti di derivabilità?
Grazie mille in anticipo per la risposta e mi scuso per il disturbo.
Risposte
Un po' strana come terminologia...
In ogni caso ti sta chiedendo su quale insieme $A\subseteq R^2$ la funzione è continua e su quale insieme $B\subseteq A$ la funzione è derivabile... Poi cosa intenda con derivabile non lo so, dipende dal libro io ho trovato spesso definizioni discordanti, ci sono testi che dicono che una funzione è derivabile se esistono finite tutte le derivate parziali, e ci sono testi che dicono che è derivabile se esistono finite tutte le derivate direzionali, se la funzione è differenziabile per il teorema del gradiente queste due richieste sono equivalenti, ma se non è differenziabile allora non è detto che siano equivalenti.
Comunque in sostanza non ti sta chiedendo niente di strano... è solo un'antiestetica scelta nei termini.
In ogni caso ti sta chiedendo su quale insieme $A\subseteq R^2$ la funzione è continua e su quale insieme $B\subseteq A$ la funzione è derivabile... Poi cosa intenda con derivabile non lo so, dipende dal libro io ho trovato spesso definizioni discordanti, ci sono testi che dicono che una funzione è derivabile se esistono finite tutte le derivate parziali, e ci sono testi che dicono che è derivabile se esistono finite tutte le derivate direzionali, se la funzione è differenziabile per il teorema del gradiente queste due richieste sono equivalenti, ma se non è differenziabile allora non è detto che siano equivalenti.
Comunque in sostanza non ti sta chiedendo niente di strano... è solo un'antiestetica scelta nei termini.
Potrebbe gentilmente indicarmi la soluzione?
Addirittura del lei, dammi pure del tu 
però grazie per la cortesia 
Prima di tutto il dominio è tutto $R^2$ e si vedere subito dal fatto che i termini all'interno delle radici non sono mai negativi.(anzi non sono mai nemmeno nulli... e questo ci tornerà utile più avanti)
Poi la continuità è banale perché puoi applicare il teorema della funzione composta che ti dice che la composizione di funzioni continue è a sua volta una funzione continua; ora somme, quadrati radici e sottrazioni sono funzioni continue, e come puoi vedere $x-y$ è una funzione continua per cui gli argomenti delle radici sono funzioni continue quindi la somma delle due radici che hanno come argomento funzioni continue, sono a sua volta funzioni continue su tutto il dominio.
E per la continuità quindi non è servito nemmeno un conto.
Procediamo a valutare la derivabilità, per semplicità scegliamo come definizione quella che secondo me è più diffusa, poi verifica se il tuo libro vuole questa, ovvero che esistano finite le derivate parziali, che indico come $f_x$ ed $f_y$.
Per fare ciò applichiamo le regole del calcolo ed otteniamo che:
$$
f_x=\frac{(x-y)}{\sqrt{(x-y)^2+1}}+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
$$
e
$$
f_y=\frac{(y-x)}{\sqrt{(x-y)^2+1}}
$$
Anche qui possiamo applicare il teorema della funzione composta in tutti i punti in cui la divisione è continua, cioè tutti in punti in cui i denominatori sono diversi da zero, in tali punti per quanto detto prima, la funzione composta sarà sicuramente continua.
Quindi le derivate parziali sono funzioni continue (quindi a maggior ragione esistono finite) nel seguente insieme di punti :
$$
B=\left\{ (x,y) : (x-y)^2+1\neq 0 \wedge x^2+1\neq 0\right\}
$$
tuttavia come puoi notare $B=\R^2$ perché tutti i punti del piano(reale) soddisfano sempre entrambe le due condizioni.
Per cui la funzione è derivabile su tutto il piano, con derivate parziali continue su tutto il piano, quest ultimo fatto per il teorema del differenziale totale, ci dice addirittura che la funzione è anche differenziabile su tutto il piano.
però grazie per la cortesia Prima di tutto il dominio è tutto $R^2$ e si vedere subito dal fatto che i termini all'interno delle radici non sono mai negativi.(anzi non sono mai nemmeno nulli... e questo ci tornerà utile più avanti)
Poi la continuità è banale perché puoi applicare il teorema della funzione composta che ti dice che la composizione di funzioni continue è a sua volta una funzione continua; ora somme, quadrati radici e sottrazioni sono funzioni continue, e come puoi vedere $x-y$ è una funzione continua per cui gli argomenti delle radici sono funzioni continue quindi la somma delle due radici che hanno come argomento funzioni continue, sono a sua volta funzioni continue su tutto il dominio.
E per la continuità quindi non è servito nemmeno un conto.
Procediamo a valutare la derivabilità, per semplicità scegliamo come definizione quella che secondo me è più diffusa, poi verifica se il tuo libro vuole questa, ovvero che esistano finite le derivate parziali, che indico come $f_x$ ed $f_y$.
Per fare ciò applichiamo le regole del calcolo ed otteniamo che:
$$
f_x=\frac{(x-y)}{\sqrt{(x-y)^2+1}}+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
$$
e
$$
f_y=\frac{(y-x)}{\sqrt{(x-y)^2+1}}
$$
Anche qui possiamo applicare il teorema della funzione composta in tutti i punti in cui la divisione è continua, cioè tutti in punti in cui i denominatori sono diversi da zero, in tali punti per quanto detto prima, la funzione composta sarà sicuramente continua.
Quindi le derivate parziali sono funzioni continue (quindi a maggior ragione esistono finite) nel seguente insieme di punti :
$$
B=\left\{ (x,y) : (x-y)^2+1\neq 0 \wedge x^2+1\neq 0\right\}
$$
tuttavia come puoi notare $B=\R^2$ perché tutti i punti del piano(reale) soddisfano sempre entrambe le due condizioni.
Per cui la funzione è derivabile su tutto il piano, con derivate parziali continue su tutto il piano, quest ultimo fatto per il teorema del differenziale totale, ci dice addirittura che la funzione è anche differenziabile su tutto il piano.
Mi scuso per il ritardo, ho letto sol ora la risposta. Penso di non aver mai capito un esercizio cosi bene 
. Grazie infinitamente per la spiegazione
. Grazie infinitamente per la spiegazione
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