Continuità e derivabilità
Avrei bisogno di aiuto per chiarirmi dei dubbi su come si fanno questi due esercizi e sapere come bisogna procedere in generale
1. Dire se f(x) è derivabile in $x_0 = 0$
$ x (log x + root(3) ( x))$ in $x_0 = 0$
$ lim_(x->0) f(x)/x = lim_(x->0) log x + root(3)(x) = 0 $
Quindi f(x) è derivabile in 0 .
Ma non si dovrebbe utilizzare la definizione di derivata e quindi fare il limite del rapporto incrementale? Perchè da come è stato risolto l'esercizio sembra sia stata usata questa formula $lim_(x->0) (f(x) - f(x_0))/ (x - x_0)$
Dato che non ci chiede di vedere se la funzione è continua bisogna verificarlo comunque?
2.Stabilire se f è continua e derivabile nel suo dominio
f(x) = $\{(x^2 -4 , if x<2) , ((sqrt x-2) , if x>=2 ) :}$
f è continua per $f(x)!=2$
$lim_(x->2-) x^2 -4 = 0 , lim_(x->2+) sqrt x-2 = 0 $
f è continua nel suo dominio D=R
f'(x) = $\{(2x , if x<2),(1/ (2 sqrt(x-2) ) , if x>2):}$
$lim_(x->2- ) 2x = 4 , lim_(x->2+) (1/ (2 sqrt (x-2))) = + infty $
f(x) è derivabile per $ x!=2$
x = 2 è un punto angoloso
In questo caso è giusto utilizzare limite destro e sinistro delle derivate? Se la funzione non fosse stata continua nel punto x= 2 si dovevano utilizzare limite destro e sinistro del rapporto incrementale ?
1. Dire se f(x) è derivabile in $x_0 = 0$
$ x (log x + root(3) ( x))$ in $x_0 = 0$
$ lim_(x->0) f(x)/x = lim_(x->0) log x + root(3)(x) = 0 $
Quindi f(x) è derivabile in 0 .
Ma non si dovrebbe utilizzare la definizione di derivata e quindi fare il limite del rapporto incrementale? Perchè da come è stato risolto l'esercizio sembra sia stata usata questa formula $lim_(x->0) (f(x) - f(x_0))/ (x - x_0)$
Dato che non ci chiede di vedere se la funzione è continua bisogna verificarlo comunque?
2.Stabilire se f è continua e derivabile nel suo dominio
f(x) = $\{(x^2 -4 , if x<2) , ((sqrt x-2) , if x>=2 ) :}$
f è continua per $f(x)!=2$
$lim_(x->2-) x^2 -4 = 0 , lim_(x->2+) sqrt x-2 = 0 $
f è continua nel suo dominio D=R
f'(x) = $\{(2x , if x<2),(1/ (2 sqrt(x-2) ) , if x>2):}$
$lim_(x->2- ) 2x = 4 , lim_(x->2+) (1/ (2 sqrt (x-2))) = + infty $
f(x) è derivabile per $ x!=2$
x = 2 è un punto angoloso
In questo caso è giusto utilizzare limite destro e sinistro delle derivate? Se la funzione non fosse stata continua nel punto x= 2 si dovevano utilizzare limite destro e sinistro del rapporto incrementale ?
Risposte
Direi che nel primo sia proprio usato il limite del rapporto incrementale. Il secondo è sbagliato: quella funzione non è continua.
Ciao
B.
Ciao
B.
Perchè la seconda non è continua ? Questi sono esercizi svolti del libro
Inoltre il limite del rapporto incrementale dovrebbe essere $lim_(h->0) (f(x_0 +h) + f(x_0))/ h $
Inoltre il limite del rapporto incrementale dovrebbe essere $lim_(h->0) (f(x_0 +h) + f(x_0))/ h $
Svolti dal libro ma, forse, copiati male: $ \sqrt x-2 $ e $ \sqrt(x-2) $ non sono la stessa cosa.
Sono, invece, equivalenti le scritture
$ \lim_ {h→0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h $ e $ \lim_ {x→x_0}(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) $.
Ciao
B.
Sono, invece, equivalenti le scritture
$ \lim_ {h→0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h $ e $ \lim_ {x→x_0}(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) $.
Ciao
B.
si scusa hai perfettamente ragione , ho sbagliato a scrivere il limite .Grazie mille per l'aiuto
Figurati! Sbagliamo tutti ed innumerevoli volte.
Ciao
B.
Ciao
B.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo