Continuità e derivabilità
Studiare la continuità e la derivabilità della seguente funzione :
$ f(x) = e^ (x^2+5/x ) se x<0, ( 2x^3 + x )/(x^2+2) se x $>=$0 $
A mio avviso la funzione è contina, per la derivabilità ho provato a fare la derivata a sinistra di zero e calcolare il suo limite per x che tende a zero ma è complicato de è forma indeterminata difficile , cosa ne pensate?
$ f(x) = e^ (x^2+5/x ) se x<0, ( 2x^3 + x )/(x^2+2) se x $>=$0 $
A mio avviso la funzione è contina, per la derivabilità ho provato a fare la derivata a sinistra di zero e calcolare il suo limite per x che tende a zero ma è complicato de è forma indeterminata difficile , cosa ne pensate?
Risposte
La continuità mi sembra abbastanza ovvia: il ramo definito per $x\ge 0$ assume valore zero in $x=0$, mentre il ramo definito per $x<0$ ha $\lim_{x\to 0^-} e^{x^2+5/x}=0$. Per quanto riguarda la derivabilità, si ha
$$\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{e^{h^2+5/h}}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{e^{5/h}}{h}=$$
posto $t=5/h\to -\infty$
$$=\lim_{t\to-\infty}\frac{t\cdot e^t}{5}=\lim_{t\to -\infty}\frac{t}{5e^{-t}}=0$$
ragionando sul fatto che $e^{-t}\to+\infty$ per $t\to-\infty$ molto più rapidamente di qualsiasi potenza di $t$.
Per l'altro ramo abbiamo
$$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{2h^3+h}{h(h^2+2)}=\lim_{h\to 0^+}\frac{2h^2+1}{h^2+2}=\frac{1}{2}$$
e pertanto la funzione presenta, in $x=0$, un punto angoloso.
$$\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{e^{h^2+5/h}}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{e^{5/h}}{h}=$$
posto $t=5/h\to -\infty$
$$=\lim_{t\to-\infty}\frac{t\cdot e^t}{5}=\lim_{t\to -\infty}\frac{t}{5e^{-t}}=0$$
ragionando sul fatto che $e^{-t}\to+\infty$ per $t\to-\infty$ molto più rapidamente di qualsiasi potenza di $t$.
Per l'altro ramo abbiamo
$$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{2h^3+h}{h(h^2+2)}=\lim_{h\to 0^+}\frac{2h^2+1}{h^2+2}=\frac{1}{2}$$
e pertanto la funzione presenta, in $x=0$, un punto angoloso.
per la verità la traccia sarebbe, a sinistra di 0, $ e^((x^2+5)/x)$ ma penso sia lo stesso, ma non dovrebbe essere $ e^(h^2) $invece di e ?
Se a esponente c'è $x^4$ allora sì.
No, la funzione è $ e^((x^2+5)/x) $
Quindi sarebbe $e^{x+5/x}$? Non cambia molto, ti pare?
no, infatti ma ci sono passaggi che non mi sono chiari dopo che hai fatto la posizione
Cioè quali? Ho semplicemente scritto $e^t=1/{e^{-t}}$ usando la proprietà delle potenze, in modo da riportare il limite in una forma $\infty/\infty$ e osservarem così, che l'esponenziale a denominatore mangia la potenza.
quando scrivi $ e^(h^2) $ = e
Ops, avrei dovuto scrivere $1$: semplicemente calcolo il limite $\lim_{h\to 0} e^{h^2}=e^0=1$
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